Question

Zadanie do sprawdzenia(i chyba do poprawienia)

Liczbę 200 podziel na takie dwa składniki, żeby iloczyn pierwszego składnika przez podwojony sześcian drugiego miał największą wartość.

x+y=200 x=200-y

f=x*2y³
f=(200-y)*2y³
f=-2y⁴+400y³

y=-b/a
y=-400/2*(-2)=100
x=100

Wydaje mi się, że powinno wyjść 50 i 150, ale może się mylę. Jak jest źle proszę poprawić

Answer 1

Początek miałeś dobry.

x + y = 200, czyli:
y = 200 - x

Dalej mamy:
f(x) = (200 - x) * 2x³ = -2x⁴ + 400x³

Musimy znaleźć maksimum tej funkcji...
Z pomocą przychodzą nam pochodne (nie wiem nawet, jak to rozwiązać bez ich pomocy)

Najpierw kilka drobnych spostrzeżeń:

1. Nigdzie nie było powiedziane, ze x i y mają być dodatnie, zatem powinniśmy szukać rozwiązania dla dowolnych wartości x i y, takich, że x + y = 200.
To oznacza, że potencjalnie może nam wyjść x = -1000, wtedy oczywiście odpowiadający y = 200 - (-1000) = 1200. Słowem: musimy brać pod uwagę dowolną rzeczywistą wartość x.

2. Funkcja f(x) przy bardzo duży co do wartości bezwzględnej x (tzn, dla bardzo dużych x oraz dla bardzo małych - ujemnych) przyjmuje wartości ujemne - dąży do minus nieskończoności

3. Jeżeli funkcja f ma w pewnym punkcie x₀ ekstremum (ekstremum czyli maksimu lub minimum) to pochodna funkcji w tym punkcie wynosi 0: f'(x₀) = 0

Z faktu 2 i 3 dochodzimy do wniosku:
Trzeba obliczyć pochodną, znaleźć jej miejsca zerowe, policzyć wartość funkcji dla tych miejsc zerowych pochodnej i sprawdzić która wartość jest największa. Ten x będzie najlepszy!

Do roboty:

f(x) = -2x⁴ + 400x³

f'(x) = -8x³ + 1200x²

f'(x) = 0
-8x³ + 1200x² = 0 |/(-8)
x³ - 150x² = 0
x²(x-150) = 0

Czyli pochodna ma dwa miejsca zerowe: x=0 oraz x=150

f(0) = 0
f(150) = -2 * 150⁴ + 400 * 150³ = 150³ (400 - 2*150) =
= 150³ * 100 = 337 500 000

Czyli największa wartość jest przyjmowana dla x = 150 i ta wartość wynosi 337 500 000
Wtedy oczywiście y = 200 - 150 = 50

PS.
Jeżeli nie znasz pochodnych, to nie pytaj mnie, dlaczego tak jest, bo ten temat ciężko szybko i dobrze wytłumaczyć... po prostu poproś kogoś kto zna pochodne, niech Ci wyjaśni dlaczego tak jest.