Question

1.) Przekrój osiowy walca jest prostokątem, którego obwód wynosi 56cm, a szerokość stanowi 75% jego długości. Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej walca.

2.) Przekrojem osiowym walca o średnicy równej 8cm jest prostokąt, którego przekątna jest nachylona do średnicy podstawy walca pod kątem 30stopni. Oblicz pole powierzchni całkowitej walca.

Answer 1

1.) Przekrój osiowy walca jest prostokątem, którego obwód wynosi 56cm, a szerokość stanowi 75% jego długości. Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej walca.

obwod przekroju O=56cm

1 bok=x

2 bok y=75%x=0,75x

 

56=2x+2·0,75x  /;2

56=2x+1,5x

56=3,5x  /:3,5

x=16cm

y=0,75 ·16=12cm

mamy 2 przypadki:

1) jezeli  wysokosc walca h=16cm  to promien walca r=12/2 =6cm

Pc=2πr²=2πrh=2π·6²=2π·6·16=72π+192π=264π cm²

V=Pp·h=π·6²·16=36π·16=576πcm³

2)jezeli wysoksoc walca h=12 to promien r=16/2 =8cm

Pc=2π·8²=2π·8·12=128π+192π=320πcm²

V=π·8²·12=64π·12=768πcm³

 

2.) Przekrojem osiowym walca o średnicy równej 8cm jest prostokąt, którego przekątna jest nachylona do średnicy podstawy walca pod kątem 30stopni. Oblicz pole powierzchni całkowitej walca.

2r=8 => r=8/2=4cm

wysokosc walca=h

Pc=?

kat α=30°

z wlasnosci katwow  ostrych mamy :

a√3=8

a=8/√3=(8√3)/3 cm =h walca

Pc=2πr²=2πrh=2π·4²+2π·4·(8√3)/3 =32π +(64√3π)/3 =32π(1+2√3/3) cm²

 

 

 

 

Answer 2

zad 1

a - długość przekroju osiowego

b - szerokość przekroju osiowego = 0,75a

obwód prostokąta = 2a + 2b

2a + 2b = 56 cm

2(a + b) = 56 cm

a + b = 56/2 = 28 cm

ponieważ b = 0,75a więc

a + 0,75a = 28 cm

1,75a = 28cm

a = 28cm/1,75 = 16 cm

ponieważ b = 0,75a więc

b = 0,75 * 16cm = 12cm

Jeżeli założymy że szerokość przekroju jest średnicą "d" podstawy to długość jest wysokością "h"

Pp - pole powierzchni podstawy = πd²/4 = π12²/4 = 144π/4 cm² = 36π cm²

Pb - pole powierzchni bocznej = 2πr * h = 2π * 6 * 16 = 192π cm²

Pc - pole powierzchni całkowitej = 2Pp + Pb = 2 * 36π + 192π = 72π + 192π =

      = 264π cm²

V - objętość walca = Pp * h = 36π cm² * 16 cm = 576π cm³

W przypadku gdyby a było średnicą podstawy a b wysokością walca to

Pp - pole podstawy = πd²/4 = π16²/4 = 256π/4 = 64π cm²

Pb - pole powierzchni bocznej = 2πr * h = 2π * 8 * 12 = 192π cm²

Pc - pole powierzchni całkowitej = 2Pp + Pb = 2 * 64π + 192π = 128π + 192π = 

 = 320π cm²

V - objętość = Pp * h = 64π * 12 = 768π cm³

 

zad 2

d - średnica podstawy = 8 cm

α - kąt nachylenia przekątnej = 30°

h - wysokość walca = ?

Pp - pole podstawy = πd²/4 = π8²/4 = 64π/4 = 16π cm²

h/d = tg30° = √3/3

h = d * tg30° = 8 * √3/3 = 8√3/3 cm

Pb - pole powierzchni bocznej = 2πr * h = 2π * 4 * 8√3/3 = 64π√3/3 =  cm²

Pc - pole powierzchni całkowitej = 2Pp + Pb = 2 * 16π + 64π√3/3 = 32π(1 + 2√3/3) cm²