Question

Znajdź resztę dzielenia sumy kwadratów trzech kolejnych liczb naturalnych przez 3.

Proszę o dokładne rozwiązanie (tzn.założenie,teza,dowód)

Answer 1

jeżeli to 3 kolejne liczby naturalne to jedna z nich jest podzielna przez 3, jedna daje resztę 1 a jedna daje resztę 2. Przedstawimy je w postaci 3k,3k+1,3k+2 dla k naturalnego. Mamy więc sumę kwadratów:

 

(3k)^2 +(3k+1)^2 + (3k+2)^2 = 9k^2 + 9k^2 +6k + 1 +9k^2 + 12k+ 4 = 3(9k^2+6k+1)+2

 

Jak widać ta reszta to 2.

 

Moża no też zrobić łaytwiej jeżeli zna się kongruencje. Jedna liczba jest podzielna przez 3 więc wystarczy zbadać resztę sumy kwadratów dwóch pozostałych. One nie są podzielne więc ich kwadraty dają zawsze resztę 1 przy dzieleniu przez 3, stąd ich suma daje resztę 2.