Question

Znajdź funkcję kwadratową, dla której wykres przechodzi przez punkty (4,1) oraz (5,4) i jest styczny do osi odcietych

Answer 1

y = ax^2 + bx + c

 

(4, 1)

x = 4  y = 1

1 = a * 4^2 + b * 4 + c

1 = 16a + 4b + c

 

(5, 4)

x = 5, y = 4

4 = a * 5^2 + b * 5 + c

4 = 25a + 5b + c

 

Wykres jest styczny do osi odcietych tzn że funkcja ma wierzchołek lezący na osi OX czyli

W = (p, q) =(p, 0)

p = -b/2a

q = -Δ/4a = 0

 

1 = 16a + 4b + c

4 = 25a + 5b + c

-Δ / 4a = 0

 

c = 1 - 16a - 4b

4 = 25a + 5b + 1 - 16a - 4b

Δ = 0

 

c = 1 - 16a - 4b

3 = 9a + b

b² - 4ac = 0

 

b = 3 - 9a

c = 1 - 16a - 4(3 - 9a) = 1 - 16a - 12 + 36a = 20a - 11

 

( 3 - 9a)² - 4a * (20a - 11) = 0

9 - 54a + 81a² - 80a² + 44a = 0

a² - 10a + 9 = 0

Δ = 100 - 36 = 64

√Δ = 8

a1 = (10 - 8)/2 = 2/2 = 1

a2 = (10 + 8)/2 = 18/2 = 9

 

a = 1

b = 3 - 9a = 3 - 9 = -6

c = 20a - 11 = 20 - 11 = 9

lub

a = 9

b = 3 - 9a = 3 - 81 = - 78

c = 20a - 11 = 180 - 11 = 169

 

odp. y = x² - 6x + 9   lub    y = 9x² - 78x + 169