Question

Wyznacz współczynniki funkcji kwadratowej y=ax^2+bx+c, wiedząc, że dla argumentu równego 3 ta funkcja przyjmuje wartość najmniejszą wynoszącą -8, a jednym z jej miejsc zerowych jest 5

Answer 1

-8=9a+3b+c

-b/2a=3

0=25a+5b+c

 

b=-6a

-8=9a-18a+c

0=25a-30a+c

 

-9a+c=-8

c=5a

 

-9a+5a=-8

-4a=-8

a=2

c=10

b=-12

Answer 2

Jeżeli dla argumentu x=3 funkcja przyjmuje wartosc minimalna y=-8 to oznacza to, ze punkt (3,-8) jest wierzcholkiem paraboli bedacej wykresem poszukiwanej funkcji, a ramiona tej paraboli skierowane sa ku gorze.

 

Napiszemy rownanie tej funkcji w postaci kanonicznej tj. y=a*(x-p)^2+q,

gdzie (p,q) to wspolrzedne wierzcholka paraboli, czyli znany nam punkt (3,-8).

 

Niestety nie znamy wartosci a.

 

Możemy napisac y=a*(x-3)^2-8

y=a*(x^2-6x+9)-8

y=ax^2-6ax+9a-8

 

W dalszym ciagu nie wiemy ile wynosi a. Ale w zadaniu napisano ze jednym z miejsc zerowych funkcji jest 5. W rozumieniu matematycznym oznacza to ze y(5)=0

 

Mozemy zatem podstawic do naszego rownania y=ax^2-6ax+9a-8       x=5 i y=0.

 

0=a*5^2-6*a*5+9*a-8

0=25a-30a+9a-8

4a=8

a=2

a wyszlo nam wieksze od 0 co potwierdza ze ramiona paraboli sa skierowane ku gorze.

 

Teraz mamy juz wszystkie dane do napisania rownania :)

 

y=ax^2-6ax+9a-8

y=2x^2-6*2x+18-8

y=2x^2-12x+10

 

Sprawdzenie

podstawimy x=3 i powinno wyjsc y=-8

y=2*3^2-12*3+10=18-36+10=-8 czyli wyszlo dobrze :)

 

Odpowiedz: Wspolczynniki poszukiwanej funkcji kwadratowej to a=2, b=-12 i c=10.

 

Mam nadzieje ze pomoglem. Zycze milego weekendu.