Question

Zmienna losowa X podlega rozkładowi normalnemu o wartości oczekiwanej 2 i odchyleniu standardowemu 3. Podaj wzór na gęstość, oraz wykonaj rysunek tej gęstości.

Po obliczeniach ze wzoru gęstość wyszła mi około 0.133

Moje pytanie jest takie, jak wykonać rysunek tej gęstości?

Answer 1

Gęstość nie jest liczbą, ale funkcją o wartosci zależnej od wartości zmiennej losowej, dla której chcemy poznać gęstość.

Zmienna losowa o rozkładzie normalnym może przyjmować wartości od minus nieskonczonosci do plus nieskończoności. Takie rzucanie kostką, tylko ścianek jest nieskończenie wiele i można otrzymać każdą liczbę rzeczywistą.

Gęstość funkcji o rozkłądzie normalnym jest funkcją i oznaczam ją literką g.

Prawdopodobieństwo tego, że w jednym losowniu (o zadanym rozkładzie prawdopodobieństwa) otrzyma się liczbę mniejszą od pewnej liczby x nazywam gestością (tego rozkłądu prawdopodobieństwa) dla tej liczby x, czyli g(x).

Rozkład normalny ma dwa parametry m - wartosc oczekiwana i d - odchylenie standardowe. W zadaniu jest podane m = 2 i d = 3, wiec jest mowa o pewnym ustalonym rozkładzie normalnym, zatem funkcję gestości tego rozkładu też można wyznaczyć. Na to jest wzór:

g(x) = 1 / (d*2*sqrt(2*PI))  *  e ^ ( - (x-m)^2  /  2 * d^2 )

(wzór wygląda strasznie, ale nie trzeba nic z nim więcej robić jak tylko podstawić m i d z zadania)
(warto zobaczyc jeszcze ten wzór na necie pod hasłem "Rozkład normalny")

g(x) = 1 / (3*2*sqrt(2PI))  *  e ^ ( - (x-2)^2  /  2 * 3^2 )
g(x) = 1 / (6*sqrt(2PI))  *  e ^ ( - (x-2)^2  /  18 )

(sqrt(2PI) to jest pierwiastek z liczby 2PI)

Wyrysowac funkcje gestości na postwie tego wzoru to chyba nie ma szans zrobić tego samemu dokładnie. Dlatego trzeba zobaczyć jak wygląda wykres funkcji gestości dla rozkładu normalnego (hasło "Rozkład normalny") (taka jedna górka, przesunieta odpowiednio o m wzgledem 0 w lewo lub prawo i tym wyższa im mniejsze jest d), i narysowac wykres o podonym kształcie zachowujac przesunięcie o m i pewnie jej wierzchołek jak się da. Ta górka jest symetryczna i im "wyższa" tym "chudsza". Całkowite pole pod wykresem gęstości a nad osią OX, jest równe 1, czyli równe jest polu kwadratu 1x1 w przyjętym układzie wspołrzędnych.