Question

POMOCY DAJE 100 PKT

Zadanie: Zbadać, przy jakiej wartości a krzywa y=x^4 + ax^3 +1 będzie wklęsła.

Answer 1

Czyli funkcja ma być TYLKO wklęsła.
Z definicji funkcja jest wklęsła gdy  druga pochodna funkcji jest niedodatnia. 
Ta funkcja ma być ZAWSZE wklęsła więc druga pochodna DLA WSZYSTKICH IKSÓW musi być ujemna.
Liczę drugą pochodną:

Teraz dla wszystkich liczb rzeczywistych musi zajść:

ponieważ a>0 (współczynnik przy x^2 funkcji kwadratowej) to funkcja kwadratowa zbiega z obu stron do +nieskończonościo
i nie ma takiego "a" dla którego ta nierówność spełniałyby wszystkie liczby rzeczywiste.

Answer 2

Y'=4x³+3ax²+3x
y''=12x²+6ax+3

Funkcja jest wklesla, gdy y''≤0

3(4x²+2ax+1)≤0

4x²+2ax+1≤0
4x²+2ax+1=0    (trojmian nie przyjmuje wartosci ujemnych)
(2x+1)²=0  lub  (2x-1)²=0
2a=4   lub 2a=-4
Dla a=2  lub a=-2 funkcja jest wypukla dla x∈R.
Mozemy sprawdzic dodatkowo z I pochodnej:
Wartosc I pochodnej dla a=2.
y'=4x³+6x²+3x=x(4x²+6x+3)
m.z. I pochodnej x=0
y'<0 dla x<0 i y'>0 dla x>0
Z tego wynika, ze funkcja osiaga tylko minimum, wiec nie moze byc wklesla.