Question

Zadanie badania monotoniczności ciągów. Dwa przykłady w załączniku. Proszę o rozwiązanie krok po kroku

Answer 1

Sa to ciagi geometryczne:
c)
-1, -2, -4, ...
q=-2/(-1)=2
an<0 i q>1 ⇒ ciag malejacy.
II sposob:
a_{n+1}-an= 2an-an=an<0 ciag malejacy
e)
-8, -4, -2, ...
q=-4/(-8)=1/2
q=1/2∈(0,1), an<0 ⇒ ciag rosnacy.
II sposob:
a_{n+1}-an=1/2an-an=-1/2an > 0 gdy an<0 ciag rosnacy

Answer 2

Skoro zadanie tyczy się ściśle badania monotoniczności, to przejdzie tu najbardziej standardowy zabieg, który się robi w takich przypadkach.

c. Sprawdźmy, czy ciąg jest malejący. Aby tak było, musi zachodzić . Mamy, że . Stąd otrzymujemy hipotezę:

Otrzymaliśmy nierówność, która jest spełniona zawsze, zatem ciąg rzeczywiście jest malejący. 
Zauważ, że każdy wyraz tego ciągu jest mniejszy od zera, ponieważ pierwszy wyraz jest mniejszy od zera - we wzorze rekurencyjnym po prostu nie ma co sprawić, że znak jakiegoś wyrazu byłby dodatni. Formalnie należałoby przeprowadzić mały dowód indukcyjny, ale myślę, że w Twoim przypadku argumentacja taka, jak powyżej, by wystarczyła. Skoro dowolny wyraz  jest ujemny, to musieliśmy odwrócić nierówność, mnożąc ją stronami przez  - oczywiście ten ułamek ma sens, bo żaden wyraz nie jest równy .

e. Przykład analogiczny do powyższego. Sprawdźmy, czy ciąg jest rosnący. Otrzymujemy hipotezę:

Dostaliśmy coś, co w oczywisty sposób zachodzi, zatem hipoteza była prawdziwa - ciąg jest rosnący.