Policz granicę ciągów - proszę czytelnie, najlepiej na kartce: Od podpunktu 5 włącznie.... Question from @Wariatkii14

January 2019 1 80 Report

Policz granicę ciągów - proszę czytelnie, najlepiej na kartce:
Od podpunktu 5 włącznie

Paawełek 5. Zarówno licznik jak i mianownik są sumami ciągów geometrycznych. Ich sumę liczymy ze wzoru $S=a_1 \cdot \dfrac{1-q^n}{1-q}$

LICZNIK: $a_1=1 \qquad q=2$
MIANOWNIK: $a_1=1 \qquad q=3$

Stąd granica wynosi:

$...=\lim\limits_{n\to\infty} \dfrac{\frac{1-2^n}{1-2}}{\frac{1-3^n}{1-3}}=\lim\limits_{n\to\infty} \dfrac{2^n-1}{\frac{1-3^n}{-2}}=\lim\limits_{n\to\infty} \dfrac{2(2^n-1)}{3^n-1}=\\ \\ \\
 =\lim\limits_{n\to\infty} \dfrac{2 \cdot \left( \frac{2}{3}\right)^n-\frac{1}{3^n}}{1-\frac{1}{3^n}}=\dfrac{2 \cdot 0-0}{1-0}=0$

W przedostatnim kroku podzieliłem licznik i mianownik na $3^n$

6. Podziel licznik i mianownik na $\sqrt{n}$ pamiętając że $\dfrac{n}{\sqrt{n}}=\dfrac{n\sqrt{n}}{n}=\sqrt{n}$

$\lim\limits_{n\to\infty} \dfrac{n}{1+\sqrt{n}}=\lim\limits_{n\to\infty} \dfrac{\sqrt{n}}{\frac{1}{\sqrt{n}}+1}=\lim\limits_{n\to\infty} \sqrt{n}=+\infty$

7. Licznik to suma szeregu arytmetycznego liczonego ze wzoru $S= \dfrac{a_1+a_n}{2} \cdot n$ mając a1=1, an=n oraz n składników mam:

$...=\lim\limits_{n\to\infty} \dfrac{\frac{1+n}{2} \cdot n}{n^2}=\lim\limits_{n\to\infty} \dfrac{\frac{n^2+n}{2}}{n^2}=\lim\limits_{n\to\infty} \dfrac{n^2+n}{2n^2}=\dfrac{1}{2}$

8. Ze wzoru (a-b)(a+b)=a^2-b^2 wynika wzór $a-b=\dfrac{a^2-b^2}{a+b}$ stąd ta granica wyniesie:

$...=\lim\limits_{n\to\infty} \dfrac{n^2+3n-n^2}{\sqrt{n^2+3n}+n}=\lim\limits_{n\to\infty} \dfrac{3n}{\sqrt{n^2+3n}+n}=\lim\limits_{n\to\infty} \dfrac{3}{\sqrt{1+\frac{3}{n}}+1}=\\ \\ = \lim\limits_{n\to\infty} \dfrac{3}{\sqrt{1}+1}=\dfrac{3}{2}$

Należało podzielić licznik i mianownik przez "n", pamiętając że to co pod pierwiastkiem dzielimy na n^2.

9. Podana granica nie istnieje, ponieważ dla n które są parzyste, ciąg zbiega do 1/3^n czyli do 0, natomiast dla n nieparzystych zbiega do 1/1^n, a więc nie do zera.

10. Należy nie zwracać uwagi na górny ciąg i wyznaczyć granicę dolnego, bo dolny bierzemy pod uwagę gdy n rośnie w nieskończoność:

$\lim\limits_{n\to\infty} a_n= \lim\limits_{n\to\infty} \dfrac{2^n}{2^n+n}=\lim\limits_{n\to\infty} \dfrac{1}{1+\frac{n}{2^n}}=\dfrac{1}{1}=1$

lim n/2^n=0 bo funkcja wykładnicza szybciej zbiega do nieskończoności niż liniowa.

0 votes Thanks 1

Jak sprawdzić, czy liczba 5+5^2+5^3+...+5^30 jest podzielna prze 3 i 30?

Zadanie badania monotoniczności ciągów. Dwa przykłady w załączniku. Proszę o rozwiązanie krok po kroku

Proszę rozwiązanie z wytłumaczeniem.

Zadanie z matury podstawowej w załączniku

Zadanie z funkcji kwadratowej. Na zdjęciu są podane dwa warunki na podstawie których mam wyliczyć m.

Wyznacz granice. Proszę o czytelny i pełny zapis z wytłumaczeniem.

Zadanie w załączniku

Zadanie z nierówności - załącznik

Proszę o rozwiązania zadań z załącznika (2) + jak do tego dojść

Proszę o rozwiązanie krok po kroku[/tex]

Recommend Questions

Life Enjoy

Get in touch

Social