Proszę o rozwiązanie krok po kroku[/tex].... Question from @Wariatkii14

December 2018 1 61 Report

Proszę o rozwiązanie krok po kroku

$[tex] \frac{1}{1+ \sqrt{2} } + \frac{1}{ \sqrt{2}+ \sqrt{ 3} } + \frac{1}{ \sqrt{3}+2 } +.....+ \frac{1}{ \sqrt{99}+10 }$ [/tex]

MrPolygon Mamy sumę:

$\frac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{98}+\sqrt{99}}+\frac{1}{\sqrt{99}+\sqrt{100}}$

Dodawanie jest przemienne, więc możemy w każdym mianowniku zmienić kolejność składników:

$\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{1}}+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{3}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{99}+\sqrt{98}}+\frac{1}{\sqrt{100}+\sqrt{99}}$

W każdym ze składników sumy usuwamy niewymierność z mianownika, posługując się wzorem skróconego mnożenia:

$\frac{1\cdot(\sqrt{2}-\sqrt{1})}{(\sqrt{2}+\sqrt{1})\cdot(\sqrt{2}-\sqrt{1})}+\frac{1\cdot(\sqrt{3}-\sqrt{2})}{(\sqrt{3}+\sqrt{2})\cdot(\sqrt{3}-\sqrt{2})}+\cdots+\frac{1\cdot(\sqrt{100}-\sqrt{99})}{(\sqrt{100}+\sqrt{99})\cdot(\sqrt{100}-\sqrt{99})}$

$\frac{\sqrt{2}-\sqrt{1}}{2-1}+\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{3-2}+\frac{\sqrt{4}-\sqrt{3}}{4-3}+\cdots+\frac{\sqrt{99}-\sqrt{98}}{99-98}+\frac{\sqrt{100}-\sqrt{99}}{100-99}=\\\\{}\\=\frac{\sqrt{2}-\sqrt{1}}{1}+\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{1}+\frac{\sqrt{4}-\sqrt{3}}{1}+\cdots+\frac{\sqrt{99}-\sqrt{98}}{1}+\frac{\sqrt{100}-\sqrt{99}}{1}=\\{}\\\\=\sqrt{2}-\sqrt{1}+\sqrt{3}-\sqrt{2}+\sqrt{4}-\sqrt{3}+\cdots+\sqrt{99}-\sqrt{98}+\sqrt{100}-\sqrt{99}$

Teraz zauważmy, że prawie wszystkie pierwiastki się pokasują, bo w tym wyrażeniu pojawiają się raz z minusem, a raz z plusem:

$\underline{\sqrt{2}}-\sqrt{1}+\boxed{\sqrt{3}}\;\underline{-\sqrt{2}}+\sqrt{4}\;\boxed{-\sqrt{3}}+\cdots+\underbrace{\sqrt{99}}-\sqrt{98}+\sqrt{100}\;\underbrace{-\sqrt{99}}$

Zostaną tylko (bo są "bez pary"):

$-\sqrt{1}+\sqrt{100}$

Cała suma jest więc równa

$-\sqrt{1}+\sqrt{100}=-1+10=9$ .

2 votes Thanks 1

Jak sprawdzić, czy liczba 5+5^2+5^3+...+5^30 jest podzielna prze 3 i 30?

Zadanie badania monotoniczności ciągów. Dwa przykłady w załączniku. Proszę o rozwiązanie krok po kroku

Proszę rozwiązanie z wytłumaczeniem.

Zadanie z matury podstawowej w załączniku

Zadanie z funkcji kwadratowej. Na zdjęciu są podane dwa warunki na podstawie których mam wyliczyć m.

Wyznacz granice. Proszę o czytelny i pełny zapis z wytłumaczeniem.

Policz granicę ciągów - proszę czytelnie, najlepiej na kartce: Od podpunktu 5 włącznie

Zadanie w załączniku

Zadanie z nierówności - załącznik

Proszę o rozwiązania zadań z załącznika (2) + jak do tego dojść

Recommend Questions

Life Enjoy

Get in touch

Social