Question

Zadanie 1.10

W okrąg o środku O wpisanano trójkąt ABC. Uwzględniając dane na rysunku obok, oblicz miary kątów trójkąta MKL.

Answer 1

I sposób

|∢BAC| = 50°

|∢ABC| = 60°

|∢ACB| = 70°

 

1) Rysujemy 3 promienie okręgu OA, OB, OC (na rysunku zaznaczone na czerwono)

 

2) ∢AOC to kąt środkowy oparty na tym samym łuku co kąt wpisany ∢ABC, a wiedząc, że miara kąta środkowego jest dwa razy większa od miary kąta wpisanego opartego na tym samym łuku co kąt środkowy, otrzymujemy:

|∢AOC| = 2·|∢ABC| = 2·60° = 120°

Analogicznie:

|∢AOB| = 2·|∢ACB| = 2·70°= 140°

|∢BOC| = 2·|∢BAC| = 2·50° = 100°

 

3) Trójkąty ABO, ACO i BCO są trójkątami równoramiennymi, bo ich dwa boki to promienie okręgu, zatem wiedząc, że W trójkącie równoramiennym kąty przy podstawie mają tę samą miarę, otrzymujemy:

ΔABO

|∢AOB| = 140°, zatem kąty ∢ABO i ∢BAO mają miarę:

|∢ABO| = |∢BAO| = (180°- 140°) : 2 = 40° : 2 = 20°

ΔACO

|∢AOC| = 120°, zatem kąty ∢ACO i ∢CAO mają miarę:

|∢ACO| = |∢CAO| = (180°- 120°) : 2 = 60° : 2 = 30°

ΔBCO

|∢BOC| = 100°, zatem kąty ∢BCO i ∢CBO mają miarę:

|∢BCO| = |∢CBO| = (180°- 100°) : 2 = 80° : 2 = 40°

 

4) Punkty A, B, C są punktami styczności, więc promienie OA, OB, OC są prostopadłe do boków trójkąta KLM, wynika to z tw. o stycznej do okręgu (Tw. Styczna do okręgu jest prostopadła do promienia wychodzącego z punktu styczności). Zatem natśpujące kąty są proste:

|∢MAO| = |∢KAO| = |∢KBO| = |∢LBO| = |∢LCO| = |∢MCO| = 90°

 

5) Na podstwie danych z punktu 3 i 4 obliczamy miary kątów w trójkątach ACM, ABK i BCL:

ΔACM

|∢CAM| = |∢MAO| - |∢CAO| = 90° - 30° = 60°

|∢ACM| = |∢MCO| - |∢ACO| = 90° - 30° = 60°

|∢AMC| = 180° - (|∢CAM| + |∢ACM|) = 180° - (60° + 60°) = 180° - 120° = 60°

ΔABK

|∢BAK| = |∢KAO| - |∢BAO| = 90° - 20° = 70°

|∢ABK| = |∢KBO| - |∢ABO| = 90° - 20° = 70°

|∢AKB| = 180° - (|∢CAM| + |∢ACM|) = 180° - (70° + 70°) = 180° - 140° = 40°

 

ΔBCL

|∢CBL| = |∢LBO| - |∢CBO| = 90° - 40° = 50°

|∢BCL| = |∢LCO|- |∢BCO| = 90° - 40° = 50°

|∢BLC| = 180° - (|∢CBL|+ |∢BCL|) = 180° - (50° + 50°) = 180° - 100° = 80°

Stąd kąty trójkąta KLM mają miarę:

|∢LKM| = |∢AKB| = 40°

|∢KLM| = |∢BLC| = 80°

|∢KML| = |∢AMC| = 60°