Question

Zadania

1.38

1,43

oraz

1,44

Answer 1

zad 1.38

Korzystam z własności: 

1. "Kąt wpisany w okrąg jest równy połowie kąta środkowego opartego na tym samym łuku"

oraz z:

2. "Suma przeciwległych kątów w czworokącie wpisanym w okrąg jest równa 180°"

a)

1. Kąt α i 3α:

--- Własność 1.:

|∢ DOB|=2|∢DAB|=2α

|∢BOD|=2|∢BCD|=6α

Suma miar kątów DOB i DOB jest równa 360° ("bo to kąt O").

|∢DOB|+|∢BOD|=360°

8α=360°

α=45°

i

3α=3*45°=135°

--- Własność 2.:

α+3α=180°

4α=180°

α=45°

----------------

2. Kąt β i 3β/2

--- Własność 1.:

|∢ AOC|=2|∢ADB|=2β

|∢COA|=2|∢CBA|=2 * 3β/2=3β

Suma miar kątów AOC i COA jest równa 360° ("bo to kąt O").

|∢AOC|+|∢COA|=360°

2β+3β=360°

5β=360°

β=72°

i

3β/2=3*72°/2=3*36°=108°

--- Własność 2.:

β + 3β/2=180°

5β/2=180°  |*(2/5)

β=72°

==========================

b) 

|∢COA|=120°

|∢AOC|=360°-|∢COA|=360°-120°=240°

|∢ACB|=1/2 |∢COA|=1/2 * 120°=60°

 

ΔAOC ~trójkąt równoramienny, bo |AO|=|OC|=r, stąd

|∢ACO|=|∢CAO|=20°

 

ΔCOB ~ trójkąt równoramienny, bo |CO|=|OB|=r i

|∢CBO|=|∢OCB|=|∢ACB|-|∢ACO|=60°-20°=40°

======================================================

zad 1.43

Proste poprowadzone z wierzchołków kątów trapezu do środka okręgu są dwusiecznymi tych kątów. Ponadto |∢ADB| i |∢BAD| - kąty proste. Czyli suma miar kątów |∢ABC| i |∢BCD| jest równa:

|∢ABC|+|∢BCD|=360°-(|∢ADB|+|∢BAD|)=360°-180°=180°

 

Proste (odcinki) CO i OB są dwusiecznymi odpowiednio kątów BCD i ABC, czyli skoro suma tych kątów, jest równa 180°, to suma "połówek" tych kątów to:

|∢ADB|/2=|∢OCB|

|∢BAD|/2=|∢OBC|

[|∢ADB|+|∢BAD|]/2=180°/2

|∢OCB|+|∢OBC|=90°

 

ΔCOB: - suma miar kątów w trójkącie jest równa 180°, czyli miara kąta |∢COB|=α

|∢COB|+|∢OCB|+|∢OBC|=180°

|∢COB|=180°-(|∢OCB|+|∢OBC|)

|∢COB|=180°-90°

|∢COB|=90°

α=90°

======================================================

zad 1.44

Korzystam z włąsności:

"Czworokąt wypukły można opisać na okręgu wtw, gdy sumy długości przeciwległych boków są równe"

a)

|KB|=|LB|=1

|MD|=|ND|=x

|CL|=|CM|=4

 

|AD|+|BC|=|AB|+|CD|

4-x+x+1+4=x+4+2+1

9=x+7

x=9

 

Boki czworokąta mają długości:

|AB|=4

|BC|=3

|CD|=5

|DA|=6

==========================

b)

|OG|=r=2

ΔCGO ~ ΔBGO  [są podobne]

|CG|/|GO|=|GO|/|BG|

1/2=2/|BG|

|BG|=4

 

Długości boków czworokąta:

|AB|=6

|BC|=5

|CD|=3

|DA|=4

==========================

c)

|AB|=5+|DC|+5=5+10+5=20

|AC|=|BD|=x

 

|AB|+|DC|=|AC|+|BD|

20+10=x+x

2x=30

x=15

 

Długości boków czworokąta:

|AB|=20

|DC|=10

|AC|=|BD|=15