Question

Zad. 1 Dla jakich wartości parametru m równanie ma podwójny pierwiastek, który jest liczbą ujemną?

(m+1)x² + (m-1)x + 2 = 0
Zad. 2 Wyznacz wartości parametru m, dla których pierwiastkami równania:

3x² + 9(m-2)x - 5 = 0 są liczby przeciwne.
Zad. 3 Dla jakich wartości parametru m nierówność jest spełniona przez dowolną liczbę rzeczywistą x?
m²x² + (7x² - 2x)m + 3 ≥ 0.

Gdybym mogła dałabym więcej pkt., ale nie mam.
Prosze o pomoc.
Siedze na nimi od kilku godzin i wyniki i tak złe.

Answer 1

z.1

( m + 1) x^2 + ( m - 1) x + 2 = 0

Równanie ma podwójny pierwiastek, jeżeli m + 1  jest różne od 0  i  delta = 0

delta = ( m -1)^2 - 4*( m + 1)*2 = m^2 - 2 m + 1 - 8 m - 8 = m^2 - 10 m - 7 = 0

delta1 = ( -10)^2 - 4*1*( -7) = 100 + 28 = 128 = 64*2 > 0

m1 = [ 10 -  8 p(2)]/2 = 5 - 4 p(2)

m2 = [ 10 + 8 p(2)] / 2 = 5 + 4 p(2)

zatem

m + 1 = 6 - 4 p(2)    i  m - 1 = 4 - 4 p(2)   lub  m + 1 = 6 + 4 p(2)   i  m - 1  = 4 + 4 p(2)

Mamy  2  równania :

1)  [ 6 - 4 p(2)] x^2 + [ 4 - 4 p(2)] x + 2 = 0

2)  [ 6 + 4 p(2)] x^2 + [ 4 + 4 p(2)] x + 2 = 0

Rozwiążę kolejno te równania:

1)  [ 6 - 4 p(2)] x^2 + [ 4 - 4 p(2) ] x + 2 = 0

delta = ( 4 - 4 p(2)]^2 - 4*( 6 - 4 p(2))*2 = 16 - 32 p(2) + 32 - 48 + 32 p(2) = 0

x1,2 = [ - ( 4 - 4 p(2))] / [ 12 - 8 p(2)] = [ - 4 + 4 p(2)]/ [ 12 - 8 p(2)] = [ - 1 + p(2)]/ [ 3 - 2 p(2)] =

= [ ( - 1 + 2 p(2))*( 3 + 2 p(2))] / [ ( 3 -2 p(2))*( 3 + 2 p(2))] =

= [ - 3 - 2 p(2) + 6 p(2) + 8 ] / [ 9 - 8] = 5 + 4 p(2)  > 0

2)

[ 6 + 4 p(2) ] x^2 + [ 4 + 4 p(2)] x + 2 = 0

delta = [ 4 + 4 p(2)]^2 - 4*[ 6 + 4 p(2)]*2 = 16 + 32 p(2) + 32 - 48 - 32 p(2) = 0

x1,2 = [ - 4 - 4 p(2)]/ [ 12 + 8 p(2)] = [ - 1 - p(2)]/[ 3 + 2 p(2)] < 0

Odp.  Dla  m = 5 + 4 p(2)   równanie ma podwójny pierwiastek , który jest liczbą ujemną.

=====================================================================

p(2)  - pierwiastek kwadratowy z 2

 -----------------------------------------------

z.2

 

3 x^2 + 9 *( m - 2) x - 5  = 0

Musi być  delta > 0   i   x1 + x2 = 0

 

delta = [ 9*( m -2)]^2 - 4*3*(-5) = 81*( m^2 - 4 m + 4 )+ 60 = 81 m^2 - 324 m + 324 + 60 =

= 81 m^2 - 324 m + 384

-----------------------------------

Ze wzorów Viete' a mamy

x1 + x2 =  - b / a = [ - 9 *( m - 2)]/3 = - 3*( m - 2) = - 3 m + 6

x1 + x2 = 0  <=>  -  3m + 6 = 0  <=>  m = 2

Sprawdzam, zcy dla m = 2   delta jest dodatnia:

delta = 81*2^2 - 324*2 + 384 = 324  - 2*324 + 384 = 384 - 324 = 60 > 0

Odp.  Dla m = 2  równanie ma 2 pierwiastki będące liczbami przeciwnymi.

==========================================================

z.3

 

m^2 x^2 + ( 7 x^2 -2 x)*m + 3 >= 0

m^2 x^2 + 7m x^2 - 2m x + 3 > = 0

( m^2 + 7 m) x^2 - 2 m x + 3 > = 0

-------------------------------------------

Zachodzą 2 przypadki:

1)   m^2 + 7 m >  0  i   delta  < = 0

2)   m^2 + 7 m < 0   i   delta < = 0

--------------------------------------------

1)

m^2 + 7 m > 0

m*( m + 7) > 0

 m < - 7  lub  m > 0

------------------------------

delta = ( -  2m )^2 - 4*( m^2 + 7 m)*3 = 4 m^2 - 12 m^2 - 84 m = - 8 m^2 - 84 m

- 8 m^2 - 84 m  < = 0  / : ( - 4)

2 m^2 + 21 m > = 0

2m *( m + 10,5 ) > = 0

m < = - 10,5  lub  m > = 0

----------------------------------

zatem

  m <= - 10,5  lub   m > 0

=====================

2)

m^2 + 7 m  < 0

m*( m + 7) < 0

- 7 <  m  <  0

-------------------

delta =  - 8 m^2 - 84 m

- 8 m^2 - 84 m < = 0

m < = - 10,5    lub   m > = 0

-------------------------------------

zatem  brak części wspólnej

=========

3) Sprawdzam dla m = 0

3 > = 0

=====

Z 1) i  3 )  wynika, że :

 

m < = - 10,5    lub   m > = 0

======================