Załącznik .... Question from @Damian

December 2018 1 136 Report

Załącznik
....................................

Paawełek Zadanie 1
Najpierw określam TYLKO dziedziny.
a)
$f(x) = \log(x^2-1)\\ \hbox{Liczba logarytmowana dodatnia:} \\ \\ x^2-1>0 \\ x^2>1 \qquad /\sqrt{} \\ |x|>1 \\ x>1 \qquad \hbox{oraz} \qquad x<-1 \\ x\in (-\infty, -1)\cup(1,+\infty)$

b)

$\hbox{dziedzina} \ \ \hbox{ctg} \ x \ \hbox{to} \ \ x \neq k \pi \ \ k \in \mathbb{C}. \ \ \hbox{tu:} \\ \pi \cdot x \neq k\pi \qquad /:\pi \\ \\ x\neq k$

To oznacza że liczba x MUSI BYĆ LICZBĄ INNĄ NIĆ CAŁKOWITA

c)

$\sin x > 0 \\ \\ 2 \pi \cdot k < x < 2\pi \cdot k + \pi \qquad k\in \mathbb{C} \\ \\$

d). dwójkę można podnieść do dowolnej potęgi, więc $x\in \mathbb{R}$

e) mianownik różny od zera więc x nierówny zeru. Czyli $x\in \mathbb{R}\setminus\{0\}$

f) $x\in \mathbb{R}$ ponieważ równanie $1+x^2 = 0$ jest sprzeczne (mianownik nigdy się nie zeruje)

TERAZ WYZNACZAM ZBIORY WARTOŚCI.
a) i b) - funkcja logarytmiczna oraz funkcja kotangens z definicji przyjmują KAŻDĄ wartość, więć tutaj bez zastanowienia piszemy $y\in \mathbb{R}$

c) funkcja sinus przyjmuje wartości <0, 1> (nie może ujemnej, bo pierwiastek). Stąd mamy:
$y_{min} = 1 +2\sqrt{0} = 1 \\ y_{max}= 1+2\sqrt{1}=1+2=3 \\ \\ \hbox{Stad:} \\ \\ Z_w: y\in \langle 1,3\rangle$

d) Zauważam, że dla KAŻDEGO iksa zachodzi:
$-|x| \le 0 \\ \hbox{A zatem:} \\ \\ 2^{-|x|} \le 2^0 \\ \\ 2^{-|x|} \le 1 \\ \\ y \le 1$

Ale z definicji potęgi zawsze zachodzi
$2^{f(x)} > 0 \\ \hbox{Zatem:} \\ \\ 0< 2^{-|x|}\le 1 \\ \\ \hbox{Wiec zbior wartosci:} \\ \\ y\in (0,1\rangle$

W e) zauważam , że:
$y= \dfrac{x^2}{|x|} = \dfrac{x^2}{x}=x \qquad x>0 \\ \\ y=\dfrac{x^2}{|x|} = \dfrac{x^2}{-x}= -x \qquad x<0 \\ \\ \hbox{Wiec mamy z 1. czesci:} \\ \\ x>0 \qquad \iff \qquad y>0 \\ x<0 \qquad \iff -x>0 \qquad \iff y>0 \\ \hbox{Wiec zbior wartosci:} \\ y \in (0,+\infty)$

W f) wyznaczę funkcję odwrotną:

$y= -\dfrac{1}{1+x^2} \qquad /\cdot (1+x^2) \\ \\ y(1+x^2)=-1 \\ \\ y+x^2y=-1 \\ \\ x^2y=-1-y \qquad /:y \\ \\ x^2 = - \dfrac{y+1}{y} \qquad /\sqrt{} \\ \\ |x| = \sqrt{-\dfrac{y+1}{y}}$

I wyznaczam dziedzinę na "y" :
$- \dfrac{y+1}{y} \ge 0 \qquad y \neq 0 \\ \\ y(y+1) \le 0 \\ \\ Z_w: y\in (0,1 \rangle$

ZADANIE 2:
f(-x) = f(x) -> funkcja parzysta
f(-x) = -f(x) -> nieparzysta
pozostałe przypadki: ani parzysta ani nieparzysta.

$f(x) = x^4 - 3x^2+1 \\ f(-x)=(-x)^4-3(-x)^2+1 = x^2-3x^2+1 = f(x)$
Funkcja parzysta

b)
$f(x) = 2^x + 2^{-x} \\ f(-x)=2^{-x} + 2^x = 2^x+2^{-x}=f(x)$

Funkcja parzysta

c)

$f(x) = |\sin x| \\ f(-x) = |\sin (-x)|=|-\sin x|= |\sin x | = f(x)$

Znowuż wyszło ,że parzysta... :)

d)

$f(x) = \dfrac{x^2+2}{x^5} \\ \\ f(-x) = \dfrac{(-x)^2+2}{(-x)^5}=\dfrac{x^2+2}{-x^5}=-\dfrac{x^2+2}{x^5}=-f(x)$

Funkcja nieparzysta

e)

$f(x) = \sin^3 x \\ f(-x) = \sin^3 (-x) = -\sin ^3 x = -f(x)$

Funkcja nieparzysta

f)

$f(x)=x|x| \\ f(-x) = -x \cdot |-x|=-x|x| = -f(x)$

Funkcja nieparzysta

badamy różnicę f(x+1) - f(x) :
$f(x)=x^2 \\ f(x+1) = (x+1)^2 \\ \\ f(x+1) - f(x) = (x+1)^2 - x^2 = x^2+2x+1-x^2 = 2x+1>0$
Jest to większe od zera, bo "x" jest dodatni więc 2x jest dodatni a tymbardziej 2x+1

b) Skorzystam z faktu że jeśli iloraz f(x+1) / f(x) jest większy od 1 do funkcja jest rosnąca:

$f(x) = \dfrac{1}{x^4+1} \\ \\ f(x+1) = \dfrac{1}{(x+1)^4+1} \\ \\ \dfrac{f(x+1)}{f(x)}= \dfrac{\frac{1}{(x+1)^4+1}}{\frac{1}{x^4+1}} = \dfrac{x^4+1}{(x+1)^4+1} \\ \\ \hbox{Zauwazam, ze w twoim przedziale} \\ |x+1|<|x| \qquad /(...)^4 \\ \\ (x+1)^4 < x^4 \\ \\ (x+1)^4+1 < x^4+1 \\ \\ \dfrac{x^4+1}{(x+1)^4+1}> 1$

Więc funkcja jest rosnąca

W c) robię to samo (z tym że tutaj zauważ że jest inny przedział)

$f(x) = \dfrac{1}{x^2+1} \\ \\ f(x+1) = \dfrac{1}{(x+1)^2+1} \\ \\ \dfrac{f(x+1)}{f(x)} = \dfrac{\frac{1}{(x+1)^2+1}}{\frac{1}{x^2+1}}= \dfrac{x^2+1}{(x+1)^2+1} >0\\ \hbox{Tu zas w tym przedziale:} \\ x<x+1 \qquad /(...)^2 \\ x^2<(x+1)^2 \\ x^2+1<(x+1)^2+1 \\ \\0< \dfrac{x^2+1}{(x+1)^2+1}<1$

Co od razu pokazuje że funkcja jest malejąca (mam nadzieję że logiczne jest dlaczego f(x+1) / f(x) >0 )

d) tu zbadam różnicę:

$f(x) = x^2-2x \\ f(x+1) = (x+1)^2 - 2(x+1) = x^2+2x+1-2x-2= \\ = x^2-1 \\ \\ f(x+1)-f(x)=x^2-1-x^2+2x=2x-1$

jest to ujemne gdy x<1/2
czyli najmniejsza liczba naturalna spełniająca to to x=0
zatem będzie malało na pewno do x+1 = 1
czyli w podanym przez Ciebie przedziale, więć jest malejąca.

(równie dobrze mogłeś obliczyć tu pochodną i f '(x) = 2x-2
funkcja jest malejąca gdy f ' (x) < 0
czyli gdy
2x-2<0
2x<2
x<1
- co daje Twój przedział)

2 votes Thanks 3