Wyznacz dziedzinę funkcji f i naszkicuj jej wykres:.... Question from @Damian

ghe $f(x)=-1+\frac3x- \frac9{x^2}+...$

$\frac{\frac3x}{-1}=-\frac3x$

$\frac{-\frac9{x^2}}{\frac3x}=-\frac3x$

Suma nieskończonego ciągu geometrycznego o ilorazie $q=-\frac3x$

Dziedzina:
1.
$x \neq 0$

2.
$\left|q\right|<1$

$\left|-\frac3x\right|<1$

$-\frac3x<1 \ \ \ lub \ \ \ -\frac3x>-1$

$-\frac3x-1<0 \ \ \ lub \ \ \ -\frac3x+1>0$

$\frac{-3-x}{x}<0 \ \ \ lub \ \ \ \frac{-3+x}{x}>0$

$(-3-x)x<0 \ \ \ lub \ \ \ (-3+x)x>0$

$x\in \left(- \infty ;-3\right) \cup \left(0;+ \infty \right) \ \ \ lub \ \ \ x\in \left(- \infty ;0\right) \cup \left(3;+ \infty \right)$

$x\in \left(- \infty ;-3\right) \cup \left(3;+ \infty \right)$

Dziedzina:
$x\in \left(- \infty ;-3\right) \cup \left(3;+ \infty \right)$
====================
$f(x)= \frac{-1}{1+\frac3x}$

$f(x)= \frac{-1}{\frac{x+3}{x}}$

$f(x)= \frac{-x}{x+3}$

2 votes Thanks 1

Paawełek Niech będzie, że dorzucę ten sposób z utrudnianiem sobie życia na rozbicie f(x) na 2 szeregi geometryczne.

Od razu możemy wpisać, że x różny od 0 to dziedzina
$f(x) = -1 + \frac{3}{x} - \frac{9}{x^2}+... = \\ \\ = \left( \dfrac{3}{x}+\dfrac{3^3}{x^3}+\dfrac{3^5}{x^5}+...\right)-\left(1+\dfrac{3^2}{x^2} +\dfrac{3^4}{x^4}+...\right)$
Oba nawiasy są szeregami geometrycznymi. Pierwszy nawias ma
$a_1 = \dfrac{3}{x}$ oraz $q=\dfrac{3^2}{x^2}=\dfrac{9}{x^2}$
Sumę szeregu geometrycznego liczy się ze wzoru:
$S=\dfrac{a_1}{1-q} \\ \\ \hbox{Podstawiasz:} \\ \\ S_1=\dfrac{\frac{3}{x}}{1-\frac{9}{x^2}}=\dfrac{\frac{3}{x}}{\frac{x^2-9}{x^2}}=\dfrac{3x^2}{x(x^2-9)}=\dfrac{3x}{x^2-9}$
Drugi szereg to a1 = 1 oraz q = 9/(x^2) :
$S_2= \dfrac{1}{1-\frac{9}{x^2}}=\dfrac{1}{\frac{x^2-9}{x^2}}= \dfrac{x^2}{x^2-9}$
W obu przypadkach q wynosiło 9/x^2. jeśli |q| < 1 to wówczas szereg jest zbieżny, czyli jest to kolejny warunek który wpiszemy do dziedziny.Dlaczego? Ponieważ dla |q| >= 1 f(x) będzie wynosić nieskończoność Wyznaczam więc już całkowitą dziedzinę f(x):
$\left| \dfrac{9}{x^2}\right|<1 \\ \\ -1<\dfrac{9}{x^2}<1 \\ \\ \hbox{Nierownosc} \ \ \dfrac{9}{x^2}>-1 \ \ \hbox{jest spelniona dla} \ \ x\in \mathbb{R} \ \ \hbox{bo} \ \dfrac{9}{x^2} \ \hbox{jest zawsze} \\ \hbox{dodatnie. Wiec wystarczy rozwiazac:} \\ \\ \dfrac{9}{x^2}<1 \\ \\ \dfrac{9}{x^2}-1<0 \\ \\ \dfrac{9-x^2}{x^2}<0 \qquad /\cdot x^2 \\ \\ 9-x^2<0 \\ (3-x)(3+x)<0 \\ x\in(-\infty, -3)\cup(3,+\infty)$
A więc Dziedzina funkcji to :
$x \in (-\infty, -3) \cup (3,+\infty)$ Funkcja f(x) to różnica sum S1 i S2 więc w swej dziedzinie jest ona postaci: $f(x) = S_1 - S_2= \dfrac{3x}{x^2-9}-\dfrac{x^2}{x^2-9}= \dfrac{3x-x^2}{x^2-9}= \dfrac{-x(x-3)}{(x-3)(x+3)}=\\ \\ =\dfrac{-x}{x+3}= -\dfrac{x+3-3}{x+3}=\dfrac{3}{x+3}-1$
Więc jest to najzwyklejsza hiperbola (którą zapisałem w postaci kanonicznej) którą musisz narysować dla x>3 oraz dla x<-3 (a pomiędzy -3 a 3 zostawić pustą przestrzeń) Zrobione w google, robi się go tak, że podstawiasz pod x kolejne wwartości i po lewej stronie od -3 ciągniesz wykres w dół a potem dorysowujesz drugą część na prawo od 3 i trójkę zaznaczasz kółkiem niezamalowanym.

0 votes Thanks 1

Co jest większe czy

Jak duże zmieszczą się prezenty pod choinkami? Kratka jest 1x1

Jak duże zmieszczą się prezenty pod choinkami? Kratka jest 1x1

Rozważmy trapez prostokątny o podstawach 1 i 5 oraz ramionach 4 i , kąt prosty przy ramieniu 4. Jaki promień może mieć największy okrąg zawarty w tym trapezie?

Załącznik ....................................

Załącznik .......................................

Załącznik .......................................

Załącznik .......................................

Załącznik .......................................

Załącznik ........................................

Recommend Questions

Life Enjoy

Get in touch

Social