Załącznik .... Question from @Damian

December 2018 1 138 Report

Załącznik
.......................................

Paawełek By a) była funkcją ciągłą granica górnej funkcji w punkcie 1 musi wynieść -2. Liczymy ją z dwóch stron. z prawej |x-1| = x-1 a z lewej |x-1| = -(x-1). Mamy:
$\lim\limits_{x\to 1^+} \dfrac{x^2-1}{|x-1|}=\lim\limits_{x\to 1^+} \dfrac{(x-1)(x+1)}{x-1}=\lim\limits_{x\to 1^+} (x+1)=2 \\ \\ \lim\limits_{x\to 1^-} \dfrac{x^2-1}{|x-1|}=\lim\limits_{x\to 1^-} \dfrac{(x-1)(x+1)}{-(x-1)}=\lim\limits_{x\to 1^-}(-(x+1))=-2$

Co pokazuje ze granica nie wynosi -2, więc nie jest ciągła w tym punkcie

b) Z lewej strony dochodzi funkcja 7x-2 a z prawej x^2, więc:
$\lim\limits_{x\to 1^-} f(x) = \lim\limits_{x\to 1^-} (7x-2) = 7 \cdot 1 -2 = 5 \\ \\ \lim\limits_{x\to 1^+} f(x)=\lim\limits_{x\to 1^+} x^2=1^2=1$

Granice są nierówne - funkcja jest nieciągła w tym punkcie

c) z lewej storny zbiega funkcja x^2, z prawej 2x:

$\lim\limits_{x\to 2^-} f(x) = \lim\limits_{x\to 2^-} x^2 = 2^2=4 \\ \\ \lim\limits_{x\to 2^+} f(x) = \lim\limits_{x\to 2^+} (2x) = 2 \cdot 2 = 4$

Są sobie równe - funkcja jest ciągła

Zad 11: liczę granice prawo i lewostronne funkcji:
a)

$\lim\limits_{x\to 0^-} f(x) =\lim\limits_{x\to 0^-} \dfrac{\sin x}{ax}=\lim\limits_{x\to 0^-} \left(\dfrac{1}{a} \cdot \dfrac{\sin x}{x}\right)= \dfrac{1}{a} \\ \\ \lim\limits_{x\to 0^+}f(x) = \lim\limits_{x\to 0^+} (x+b)=0+b=b \\ \\ \hbox{Musza byc sobie rowne, wiec zachodzi:} \\ \\ \dfrac{1}{a}=b \\ \\ ab=1$

Przykładowe parametry: a=1 oraz b=1 (ich iloczyn wynosi 1)
a=3 oraz b=1/3
a=-666 oraz b=-1/666
:)

b) Zacznę od punktu x=1. Z lewej strony zbiega funkcja x, z prawej x^2+ax+b
Liczę granicę dwustronne:
$\lim\limits_{x\to 1^-} f(x)=\lim\limits_{x\to 1^-} x = 1 \\ \\\lim\limits_{x\to 1^+} f(x) = \lim\limits_{x\to 1^+} (x^2+ax+b) = 1+a+b$
Muszą być równe, więc
1+a+b=1
a+b=0

Teraz w punkcie x=-1. Z prawej strony zbiega funkcja x, z lewej x62+ax+b:
$\lim\limits_{x\to -1^+} x = -1 \\ \\ \lim\limits_{x\to -1^-} (x^2+ax+b)=1-a+b$
To nam daje równość:

1-a+b=-1
b-a=-2 /*(-1)
a-b=2

A to daje ukad równań:L

$+\begin{cases} a+b=0 \\ a-b=2 \end{cases} \\ \\ 2a=2 \qquad /:2 \\ a=1 \\ \hbox{Skad} \ \ b=-a=-1 \\ \hbox{Wiec odpowiedz:} \\ \\ \begin{cases} a=1 \\ b=-1 \end{cases}$

Zadanie 12. Wystarczy wyznaczyć granice w podanych punktach:

$\lim\limits_{x\to 0} \dfrac{\sin x}{x} = 1 \\ \\ \lim\limits_{x\to 0} \dfrac{e^x - 1}{x} = 1$
nie wynoszą 0, więc funkcja nie jest ciągła - jest to nieciągłość I rodzaju, ponieważ granice są właściwe

b)

$\lim\limits_{x\to 0} \left(1-\cos \frac{1}{x}\right) = [1-\cos \infty]= \langle 0, 2\rangle \\ \\ \lim\limits_{x\to 0} \left(\sqrt{x} \cdot \sin \frac{1}{x}\right)=0$

ponieważ nie istnieje granica pierwszej granicy - mamy nieciągłość II rodzaju.,

1 votes Thanks 1