Załącznik .... Question from @Damian

December 2018 1 107 Report

Załącznik
.......................................

Paawełek Liczę granice dwustronne.
Zadanie 5. a)
gdy x>1 wówczas |x-1| = x-1 więc prawostronna:
$\lim\limits_{x\to 1^+}\frac{|x-1|^3}{x-1}= \lim\limits_{x\to 1^+} \dfrac{(x-1)^3}{x-1} = \lim\limits_{x\to 1^+} (x-1)^2=0 \\ \\ \lim\limits_{x\to 1^-} \dfrac{|x-1|^3}{x-1}= \lim\limits_{x\to 1^-}\dfrac{(-(x-1))^3}{x-1}= \dfrac{-(x-1)^3}{x-1}=\lim\limits_{x\to 1^-}(-(x-1)^2)=\\ \\ =0$
Są sobie równe więc istnieje granica obustronna - wynosi ona 0
b)

$\lim\limits_{x\to 0^+} \dfrac{1}{1+e^{\frac{1}{x}}}= \dfrac{1}{1+e^{\frac{1}{0^+}}}=\dfrac{1}{1+e^{\infty}}= \left[ \dfrac{1}{\infty}\right]=0 \\ \\ \lim\limits_{x\to 0^-} \dfrac{1}{1+e^{\frac{1}{x}}}= \dfrac{1}{1+e^{\frac{1}{0^-}}}= \dfrac{1}{1+e^{-\infty}}=\dfrac{1}{1+0}=1$

Są różne - tutaj granica nie istnieje

c)

$\lim\limits_{x\to 0^+} \hbox{sgn} x=1 \\ \lim\limits_{x\to 0^-} \hbox{sgn} x=-1 \\ \hbox{Majac te wzoruy:} \\ \\ \lim\limits_{x\to 0^+} \dfrac{\hbox{sgn}(x^3)}{\hbox{sgn} x}= \dfrac{1}{1}=1 \\ \\ \lim\limits_{x\to 0^-} \dfrac{\hbox{sgn}(x^3)}{\hbox{sgn} x}=\dfrac{-1}{-1}=1$

Są równe, granica istnieje - wynosi 1

d) chyba Ci się źle zapisało... może chodziło Ci o exp albo funkcję Ei... ale to już całkowe są...

Zad. 9. No to korzystamy.... :)

a)

$\lim\limits_{x\to 1} \dfrac{x^3-1}{x^5-1}=\lim\limits_{x\to 1} \dfrac{(x-1)(x^2+x+1)}{(x-1)(x^4+x^3+x^2+x+1)}\\ =\lim\limits_{x\to 1} \dfrac{x^2+x+1}{x^4+x^3+x^2+x+1} = \dfrac{1+1+1}{1+1+1+1+1} = \dfrac{3}{5}$

b)

$\lim\limits_{x\to -\infty} \dfrac{x}{\sqrt{x^2+1}}=\lim\limits_{x\to -\infty} \dfrac{-1}{\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}}= -\dfrac{1}{1}=-1$

c)

$\lim\limits_{x\to \infty} \dfrac{2 \cdot 5^x - 2^x}{3^x - 4 \cdot 5^x}= \lim\limits_{x\to \infty} \dfrac{2-(\frac{2}{5})^x}{(\frac{3}{5})^x- 4 }= \dfrac{2-0}{0-4}= - \dfrasc{2}{4}=-\dfrac{1}{2} \\ \\ \hbox{W drugim kroku dzielilem licznik i mianownik przez } \ \ 5^x.$

d)

$\lim\limits_{x\to\infty} \dfrac{(x+1)^3}{x^3+2}=\lim\limits_{x\to\infty} \dfrac{x^3+3x^2+3x+1}{x^3+2}= \dfrac{1}{1}=1$

(stopnie wielomianów w liczniku i mianowniku są takie same, więc wystarczy zbadać iloraz współczynników przy x^3 - od razu więc napisałem 1/1= 1)

e)

$\lim\limits_{x\to -1} \dfrac{1+\sqrt[5]{x}}{1+\sqrt[3]{x}}= \\ =\lim\limits_{x\to\infty} \dfrac{(\sqrt[5]{x}+1)(\sqrt[5]{x^4}-\sqrt[5]{x^3}+\sqrt[5]{x^2}-\sqrt[5]{x}+1)}{(\sqrt[3]{x}+1)(\sqrt[5]{x^4}-\sqrt[5]{x^3}+\sqrt[5]{x^2}-\sqrt[5]{x}+1)} = \\ \\ = \lim\limits_{x\to -1} \dfrac{(\sqrt[5]{x})^5 - 1^5)(\sqrt[3]{x^2}-\sqrt[3]{x}+1)}{(\sqrt[3]{x}+1)(\sqrt[3]{x^2}-\sqrt[3]{x}+1)(\sqrt[5]{x^4}-\sqrt[5]{x^3}+\sqrt[5]{x^2}-\sqrt[5]{x}+1)}=\\ \\$

$=\lim\limits_{x\to -1} \dfrac{(x-1)(\sqrt[3]{x^2}-\sqrt[3]{x}+1)}{(x-1)((\sqrt[5]{x^4}-\sqrt[5]{x^3}+\sqrt[5]{x^2}-\sqrt[5]{x}+1))}= \\ \\ =\lim\limits_{x\to -1} \dfrac{\sqrt[3]{x^2}-\sqrt[3]{x}+1}{(\sqrt[5]{x^4}-\sqrt[5]{x^3}+\sqrt[5]{x^2}-\sqrt[5]{x}+1}= \\ \\ = \dfrac{1+1+1}{1+1+1+1+1}=\dfrac{3}{5}$

f)

$\lim\limits_{x\to 5} \dfrac{\sqrt{x-1}-2}{x-5}=\lim\limits_{x\to 5} \dfrac{(\sqrt{x-1}-2)(\sqrt{x-1}+2)}{(x-5)(\sqrt{x-1}+2)} = \\ \\ =\lim\limits_{x\to 5} \dfrac{x-1-4}{(x-5)(\sqrt{x-1}+2)}=\lim\limits_{x\to 5} \dfrac{x-5}{(x-5)(\sqrt{x-1}+2)} = \\ \\ =\lim\limits_{x\to 5} \dfrac{1}{\sqrt{x-1}+2} = \dfrac{1}{\sqrt{5-1}+2}= \dfrac{1}{2+2}=\dfrac{1}{4}$

g)

$\lim\limits_{x\to 1^-} \dfrac{x^2-1}{\sqrt{1-x}} = \lim\limits_{x\to 1^-} \dfrac{(x^2-1) \cdot \sqrt{1-x}}{1-x}= \\ =\lim\limits_{x\to 1^-} \dfrac{-(1-x)(x+1) \cdot \sqrt{1-x}}{1-x}=\lim\limits_{x\to 1^-} ( -\sqrt{1-x} \cdot (x+1))= \\ =0 \cdot 2=0$

h)

$\hbox{wykorzystamy wzor} \ \ a-b=\dfrac{a^2-b^2}{a+b}: \\ \\ \lim\limits_{x\to\infty} x(\sqrt{x^2+1}-x)=\lim\limits_{x\to\infty} \left(x \cdot \dfrac{x^2+1-x^2}{\sqrt{x^2+1}+x}\right)= \\ \\ =\lim\limits_{x\to\infty} \dfrac{x}{\sqrt{x^2+1}+x} = \lim\limits_{x\to\infty} \dfrac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}+1}= \dfrac{1}{1+1}=\dfrac{1}{2}$

i)

$\lim\limits_{x\to 1} (x^4-1)^2=(1-1)^2 = 0^2 = 0$

j)

$\lim\limits_{x\to 0^-} \dfrac{1}{\sin x} = \left[\dfrac{1}{0^-}\right]= -\infty$

k)

$\lim\limits_{x\to\infty} e^{\frac{1}{x}} = \left[e^{\frac{1}{\infty}}\right]=e^0 =1$

l)

$\lim\limits_{x\to 0^+} \arctan \left( \dfrac{1}{x}\right)=\left[ \arctan \left( \dfrac{1}{0^+}\right)\right]= \left[ \arctan (+\infty) \right]=\dfrac{\pi}{2}$

m)

$\lim\limits_{x\to 0} x^2(2+\cos \frac{1}{x})= 0 \cdot k=0 \\ \hbox{Gdzie z deefinicji kosinusa:} \ \ k\in \langle 1, 3\rangle$

każda liczba z przedziału k mnożona przez 0 da 0.

n)

$\lim\limits_{x\to 0^+} (\sqrt{x} \cdot \sin^2 \frac{1}{x})= 0 \cdot k = 0$

Na tej samej podstawie jak tam.

o)

$\lim\limits_{x\to 0} \dfrac{\sin (7x)}{\sin (5x)} = \lim\limits_{x\to 0} \dfrac{5x \cdot 7x \cdot \sin (7x)}{5x \cdot 7x \cdot \sin (5x)}= \\ \\ = \lim\limits_{x\to 0} \left(\dfrac{7x}{5x} \cdot \dfrac{5x}{\sin(5x)} \cdot \dfrac{\sin (7x)}{7x}\right)= \dfrac{7}{5} \cdot 1 \cdot 1 = \dfrac{7}{5} \\ \hbox{Wzor:} \\ \lim\limits_{x\to 0} \dfrac{\sin x}{x}= \lim\limits_{x\to 0} \dfrac{x}{\sin x} = 1$

p

$\left( \dfrac{3x+5}{3x+7}\right)^{x+1} = \left(\dfrac{3x+7-2}{3x+7}\right)^{x+1} = \left(1+\dfrac{-2}{3x+7}\right)^{x+1} \\ \\ \lim\limits_{x\to \infty} \left(1+\dfrac{-2}{3x+7}\right)^{x+1}= \\ \\ =\lim\limits_{x\to \infty}\left( \left( \left( 1+\dfrac{-2}{3x+7}\right)^{\frac{3x+7}{-2}}\right)^{\frac{-2}{3x+7}\right)^{x+1}= \\ \\ =\lim\limits_{x\to \infty} e^{\frac{-2(x+1)}{3x+7}}=\lim\limits_{x\to \infty} e^{\frac{-2x-2}{3x+7}}=e^{-\frac{2}{3}}$

1 votes Thanks 1