Załącznik .... Question from @Damian

December 2018 1 100 Report

Załącznik
........................................

Paawełek Złożenie funkcji. Definicja:
$\hbox{Zlozeniem funkcji} \ \ f(x) \ \ \hbox{oraz} \ \ g(x) \ \ \hbox{nazywamy:} \\ \\ (f\circ g)(x)= f(g(x))$

a)
$f(x)=x^2 \qquad g(x)=\sqrt{x} \\ \\ f\circ g=f(g(x)) = (\sqrt{x})^2 =x \\ f \circ f=f(x^2)=(x^2)^2 = x^4 \\ g \circ f=g(f(x))=\sqrt{x^2}=|x| \\ g \circ g=g(g(x))= \sqrt{\sqrt{x}}= \sqrt[4]{x}$
Dziedzina trzech pierwszych: x należy do rzeczywisstych
dziedzina ostatniej: x>0

b)

$f(x)=2^x \qquad g(x)=\cos x \\ \\ f \circ g=f(g(x))=2^{\cos x} \\ f\circ f=f(f(x))=2^{2^x} \\ g \circ f=g(f(x))= \cos (2^x) \\ g \circ g =g(g(x))= \cos (\cos x)$
Dziedzina każdej z funkcji to x należy do rzeczywistych

c)

$f(x)=x^3 \qquad g(x)=\dfrac{1}{\sqrt[3]{x}} \\ \\ f \circ g=f(g(x))= \left(\dfrac{1}{\sqrt[3]{x}}\right)^3 = \dfrac{1}{x} \qquad D: \ x\in\mathbb{R}\setminus\{0\} \\ f \circ f = f(f(x))=(x^3)^3 = x^9 \qquad x\in \mathbb{R} \\ g \circ f=g(f(x))=\dfrac{1}{\sqrt[3]{x^3}}=\dfrac{1}{x} \qquad x\in \mathbb{R}\setminus\{0\} \\ g\circ g=g(g(x)) = \dfrac{1}{\sqrt[3]{\frac{1}{\sqrt[3]{x}}}}= \dfrac{1}{\frac{1}{\sqrt[9]{x}}}= \sqrt[9]{x} \qquad x\in \mathbb{R}$

d)

$f(x) = \dfrac{x}{1+x^2}\qquad g(x)=\dfrac{1}{x} \\ \\ f\circ g=f(g(x))= \dfrac{\frac{1}{x}}{1+\left(\frac{1}{x}\right)^2}= \dfrac{\frac{1}{x}}{\frac{x^2+1}{x^2}}=\dfrac{x^2}{x(x^2+1)}=\dfrac{x}{x^2+1} \\ f \circ f = \dfrac{\frac{x}{1+x^2}}{1+\left(\frac{x}{1+x^2}\right)^2}=\dfrac{\frac{x}{1+x^2}}{\frac{(1+x^2)^2+x^2}{(1+x^2)^2}}=\dfrac{x(1+x^2)^2}{((1+x^2)^2+x^2)(1+x^2)}=\\ \\ = \dfrac{x(x^2+1)}{(1+x^2)^2+x^2}=\dfrac{x(x^2+1)}{x^4+3x^2+1}$

$g \circ f=\dfrac{1}{\frac{x}{x^2+1}}= \dfrac{x^2+1}{x} \\ \\ g \circ g = \dfrac{1}{\frac{1}{x}}=x$

Wszystkich dziedziny to x należą do liczb rzeczywistych oprócz trzeciego złożenia - tam $x\in \mathbb{R}\setminus\{0\}$

Zadanie 5

$f(x)=x^3+1 \\ \hbox{Mamy wykazac, ze:} \\ f(x_1) \neq f(x_2) \\ x_1^3+1 \neq x_2^3 +1 \\ \\ x_1^3 \neq x_2^3 \qquad /\sqrt[3]{} \\ \\ x_1 \neq x_2 \\ \hbox{Co dowodzi implikacji:} \\ f(x_1)\neq f(x_2) \quad \Rightarrow \qquad x_1\neq x_2$

Słownie byś zrozumiał: FUNKCJA DLA KAŻDYCH ARGUMENTÓW RÓŻNYCH OD SIEBIE PRZYPORZĄDKOWUJE RÓŻNE WARTOŚCI.

TJ: MOŻE PRZYPORZĄDKOWAĆ TĘ SAMĄ WARTOŚĆ TYLKO WÓWCZAS, GDY ARGUMENTY SĄ TAKIE SAME.

Wniosek: funkcja może przyporządkować TYLKO jedną wartość.

I taką implikację udowadniamy dalej:

$f(x) = \dfrac{1}{x^2} \qquad x \in (-\infty, 0) \\ \\ f(x_1) \neq f(x_2) \\ \dfrac{1}{x_1^2} \neq \dfrac{1}{x_2^2} \\ \\ x_1^2 \neq x_2^2 \qquad /\sqrt{} \\ \\ |x_1| \neq |x_2| \\ \hbox{W podanym przez Ciebie przedziale} \ \ |x_1|=-x_1 \ \ |x_2|=-x_2: \\ \\ -x_1 \neq -x_2 \qquad /\cdot(-1) \\ \\ x_1 \neq x_2$

Kolejne:

$f(x)=\sqrt{x}+1 \qquad x\in \langle0,+\infty) \\ f(x_1)\neq f(x_2) \\ \sqrt{x_1}+1 \neq \sqrt{x_2}+1 \\ \sqrt{x_1} \neq \sqrt{x_2} \qquad /(...)^2 \\ x_1 \neq x_2$

Zadanie 6.
Jak znaleźć funkcję odwrotną? funkcję postaci y=f(x) zapisz jako x=f(y)
(tj. wyznacz iksa a następnie zamień iksa z igrekiem)
a)
$y=x^2-2x \qquad x\in \langle 1,+\infty) \iff y \in \langle -1, +\infty)\\ \\ x^2-2x-y=0 \\ \\ \Delta= (-2)^2 + 4 \cdot y \cdot 1 =4+4y \\ \sqrt{\Delta}= \sqrt{4+4y}= \sqrt{4} \cdot \sqrt{y+1}=2\sqrt{y+1} \\ \hbox{dziedzina na "y" nalozona w zadaniu sie zgadza wiec mamy:} \\ \\ x_1=\dfrac{2+2\sqrt{y+1}}{2}=1+\sqrt{y+1} \\ \\ x_2=\dfrac{2-2\sqrt{y+1}}{2}=1-\sqrt{y+1} \\ \\ \hbox{Wiec mamy dwie funkcje:} \\ y=1+\sqrt{x+1} \\ y=1-\sqrt{y+1}$

$y=2-\sqrt[5]{x+1} \\ \\ y+\sqrt[5]{x+1}=2 \\ \\ \sqrt[5]{x+1}=2-y \qquad /(...)^5 \\ \\ x+1= (2-y)^5 \\ \\ x=(2-y)^5-1 \\ \\ \hbox{Funkcja odwrotna:} \\ \\ y=(2-x)^5-1$

Zadanie 7:
$\hbox{Niech:} \ \ \lim\limits_{n\to\infty} x_n=2 \qquad x_n \neq 2 \\ \hbox{wowczas:} \\ \\ \lim\limits_{x\to 2}(7-2x)= \lim\limits_{n\to\infty} (7-2x_n)= 7-2\lim\limits_{n\to\infty}x_n=7-2 \cdot 2=3$

b)
$\hbox{Niech:} \ \ \lim\limits_{n\to\infty}x_n=-1 \quad x_n \neq -1 \quad x_n\neq -3: \\ \\ \lim\limits_{x\to-1} \dfrac{x^2}{x+3}=\lim\limits_{n\to\infty} \dfrac{x_n^2}{x_n+3}= \dfrac{\left(\lim\limits_{n\to\infty}x_n\right)^2}{\lim\limits_{n\to\infty}x_n +3}=\dfrac{(-1)^2}{-1+3}=\dfrac{1}{2}$

c)

$\hbox{Niech:} \ \ \lim\limits_{n\to\infty} x_n=3 \qquad x_n \neq 3 \qquad x_n \ge -1 \\ \\ \lim\limits_{x\to 3}\sqrt{x+1}=\lim\limits_{n\to\infty} \sqrt{x_n+1}=\sqrt{\lim\limits_{n\to\infty}x_n +1}= \sqrt{3+1}=\sqrt{4}=2$

2 votes Thanks 2