Załącznik .... Question from @Damian

December 2018 1 116 Report

Załącznik
.......................................

Paawełek Definicja pochodnej. Pochodną funkcji nazywamy taką oto granicę:
$\lim\limits_{h\to 0} \dfrac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$
Stąd:
$f(x)=x^2 \\ \\ \lim\limits_{h\to 0} \dfrac{(x+h)^2 - x^2}{h}=\lim\limits_{h\to 0} \dfrac{x^2+2xh+h^2-x^2}{h}=\lim\limits_{h\to 0} \dfrac{2xh+h^2}{h}= \\ \\ = \lim\limits_{h\to 0} \dfrac{h(2x+h)}{h}=\lim\limits_{h\to 0}(2x+h)=2x$

(no i rzeczywiśce pochodna x^2 to 2x)

$f(x) = \sin x \\ \\ \lim\limits_{h\to 0} \dfrac{\sin (x+h)-\sin x}{x}= \lim\limits_{h\to 0} \dfrac{2\sin \frac{x+h-x}{2} \cos \frac{x+h+x}{2}}{h}= \\ \\ =\lim\limits_{h\to 0} \dfrac{2 \sin \frac{h}{2} \cos (x+\frac{h}{2})}{h}= \lim\limits_{h\to 0} \left(2 \cdot \dfrac{\sin \frac{h}{2}}{2 \cdot \frac{h}{2}}\right) \cdot \lim\limits_{h\to 0} \cos (x+\frac{h}{2})= \\ \\ =\lim\limits_{h\to 0} \dfrac{\sin \frac{h}{2}}{\frac{h}{2}} \cdot \cos (x+0)= 1 \cdot \cos x = \cos x\\$

$f(x) = \sqrt[4]{x} \\ \\ \lim\limits_{h\to 0} \dfrac{\sqrt[4]{x+h}-\sqrt[4]{x}}{h} =\\ = \lim\limits_{h\to 0} \dfrac{(\sqrt[4]{x+h}-\sqrt[4]{x})(\sqrt[4]{x+h}+\sqrt[4]{x})(\sqrt{x+h}+\sqrt{x})}{h(\sqrt[4]{x+h}+\sqrt[4]{x})(\sqrt{x+h}+\sqrt{x})} = \\ \\ =\lim\limits_{h\to 0} \dfrac{(\sqrt[4]{x+h})^4-(\sqrt[4]{x})^4}{h(\sqrt[4]{x+h}+\sqrt[4]{x})(\sqrt{x+h}+\sqrt{x})}=\\ \\ =\lim\limits_{h\to 0} \dfrac{h}{h(\sqrt[4]{x+h}+\sqrt[4]{x})(\sqrt{x+h}+\sqrt{x})}= \\ \\$

$=\lim\limits_{h\to 0} \dfrac{1}{(\sqrt[4]{x+h}+\sqrt[4]{x})(\sqrt{x+h}+\sqrt{x})}= \\ \\ = \dfrac{1}{(\sqrt[4]{x}+\sqrt[4]{x})(\sqrt{x}+\sqrt{x})}= \\ \\ = \dfrac{1}{2\sqrt[4]{x} \cdot 2\sqrt{x}}= \dfrac{1}{2\sqrt[4]{x} \cdot 2\sqrt[4]{x^2}}= \dfrac{1}{4\sqrt[4]{x^3}}$

$f(x) = e^{-x} \\ \\f'(x) =\lim\limits_{h\to 0} \dfrac{e^{-h-x}- e^{-x}}{h}=\lim\limits_{h\to 0} \dfrac{e^{-x}(e^{-h}-1)}{h}= e^{-x} \cdot \lim\limits_{h\to 0} \dfrac{e^{-h}-1}{h}= \\ \\ =e^{-x} \cdot \lim\limits_{h\to 0} -\dfrac{e^{-h}-1}{-h}=e^{-x} \cdot -1 = -e^{-x}$

$f(x)=\dfrac{1}{1-x} \\ \\ \lim\limits_{h\to 0} \dfrac{\frac{1}{1-x-h}-\frac{1}{1-x}}{h}=\lim\limits_{h\to 0} \dfrac{\frac{1-x}{(1-x-h)(1-x)}-\frac{1-x-h}{(1-x-h)(1-x)}}{h} = \\ \\ = \lim\limits_{h\to 0} \dfrac{\frac{1-x-1+x+h}{(1-x-h)(1-x)}}{h}=\lim\limits_{h\to 0} \dfrac{h}{h(1-x-h)(1-x)}= \\ \\ =\lim\limits_{h\to 0} \dfrac{1}{(1-x-h)(1-x)}= \dfrac{1}{(1-x)(1-x)} = \dfrac{1}{(1-x)^2}$

Zadanie 14
|x-3| = x-3 gdy x>3
więc pochodna prawostronna wynosić będzie f ' (x) = 1
|x-3| = 3-x gdy x<3
więć lewostronna wynosi f ' (x) = -1

Są one nierówne, więc nie istnieje pochodna w punkcie 3.

wyznaczam pochodną x sin(1/x) w punkcie x=0 z definicji:

$\lim\limits_{h\to 0} \dfrac{(h+0) \sin \frac{1}{h+0} - 0 \cdot \sin \frac{1}{0}}{h}= \lim\limits_{h\to 0} \dfrac{h\sin \frac{1}{h}}{h}= \lim\limits_{h\to 0} \sin \frac{1}{h}= [\sin \infty]$

ta granica jest w przedziale <-1, 1> więc jest nieokreślona, więć pochodna nie istnieje w tym punkcie.

$\lim\limits_{h\to 0}\dfrac{h^2 \cos \frac{1}{h}-0 \cdot \cos \frac{1}{0}}{h}=\lim\limits_{h\to 0} \dfrac{h^2 \cos \frac{1}{h}}{h} = \lim\limits_{h\to 0} (h \cos \frac{1}{h})=0$

Wynosi ona 0, więc istnieje pochodna wp unkcie 0.

Zad. 15
Równanie stycznej:

$\hbox{Rownanie stycznej w punkcie} \ \ P(x_0, y_0): \\ \\ y-y_0 = f'(x_0)(x-x_0)$

a)
$f(x)= e^x \\ f'(x)=e^x \\ f'(0) = e^0 = 1 \\ \\ \hbox{Podkladam te wartosci do rownania styczniej:} \\ \\ y-1=1 \cdot (x-0) \\ y-1=x \\ y=x+1$

b)

$f(x) = \sin x \\ f'(x) = \cos x \\ f'(\pi)= \cos \pi =-1 \\ \hbox{Podkladajac:} \\ \\ y-0=-1(x-\pi) \\ \\ y=-x+\pi$

c)

$f(x) = \sqrt[3]{x} \\ f'(x)= \dfrac{1}{3x^{\frac{2}{3}}}= \dfrac{1}{3\sqrt[3]{x^2}} \\ \\ f'(8)=\dfrac{1}{3\sqrt[3]{8^2}}=\dfrac{1}{3\sqrt[3]{64}} = \dfrac{1}{3 \cdot 4}=\dfrac{1}{12} \\ \\ y-2=\dfrac{1}{12}(x-8) \\ \\ y-2=\dfrac{1}{12}x-\dfrac{2}{3} \\ \\ y= \dfrac{1}{12}x+\dfrac{4}{3}$

1 votes Thanks 1