Załącznik .... Question from @Damian

Paawełek Moduł liczby z=a+bi wyznaczamy ze wzoru:
$|z|=\sqrt{a^2+b^2}$
Tu mam $z=-1-\sqrt{3}i \qquad \hbox{czyli} \ \ a=-1 \ \ b=-\sqrt{3}: \\ \\ |z|=\sqrt{(-1)^2 + (-\sqrt{3})^2}=\sqrt{1+3}=\sqrt{4}=2$

Argument wyznaczam ze wzoru:
$\cos \phi = \dfrac{a}{|z|} = -\dfrac{1}{2} \\ \hbox{A stad:} \\ \phi = \arg z= -\dfrac{2\pi}{3}$

Zad. 2. Najpierw zauważ, że:
$|z-i| = |a+bi-i|= | a+(b-1)i| \\ \hbox{Gdzie:} \ \ a=\Re z \ \ b=\Im z : \\ \hbox{Licze argument tej liczby:} \\ |z-i| = \sqrt{a^2+(b-1)^2} \\ \hbox{Masz nierownosc:} \\ 1 \le \sqrt{a^2+(b-1)^2}\le 2$

Wyznaczam dwie nierówności (ZAŁĄCZNIK) a później wyznaczam ich część współną. Nierówność pierwsza:
$\sqrt{a^2+(b-1)^2} \le 2 \qquad /(...)^2 \\ \\ a^2+(b-1)^2 \le 4$

a^2+(b-1)^2 = 2^2 -> równanie okręgu o promieniu w środku (a,b) = (0,1) i promieniu 2 (przypominam: a - Re z , b - Im z)
ma być mniejsze więc koloruję cały okrąg (kolor niebieski)

Druga nierówność:
$\sqrt{a^2+(b-1)^2}\ge 1 \qquad /(...)^2 \\ \\ a^2+(b-1)^2\ge 1$
równanie okręgu o tym samym środku i promieniu 1. Tu jest większe więc punkty idą na zewnątrz od okręgu (kolor czerwony)
(zwróć uwagę na skalę - dwie kratki: jedna jednostka)

Kolejne:
|z| = 2
więc:
$\sqrt{a^2+b^2}=2 \qquad /(...)^2 \\ a^2+b^2=4$
Jest to okrąg o promieniu 2 i środkiem w początku ukł. współrzędnych

Ponadto Im z > Re z więc b>a (narysuj wykres b=a, jest to prosta. Por.: y=x i zaznacz część do góry. część wspólna (ZAKREŚLONA NA CZERWONO) jest rozwiązaniem) Ten półokrąg.

Zad. 3 ciąg rosnący, nazywamy takim, który każdy kolejny wyraz jest większy od poprzedniego. Tj: dla dowolnego n zachodzi an+1 > an czyli an+1 - an > 0
Na tej podstawie:

$a_n = \dfrac{n}{n+2} \\ \\ a_{n+1} = \dfrac{n+1}{n+3} \\ \\ a_{n+1} - a_n = \dfrac{n+1}{n+3} - \dfrac{n}{n+2}= \dfrac{(n+1)(n+2)}{(n+2)(n+3)} - \dfrac{n(n+3)}{(n+2)(n+3)}= \\ \\ =\dfrac{n^2+3n+2-n^2-3n}{(n+2)(n+3)} = \dfrac{2}{(n+2)(n+3)}$
Licznik jest zawsze dodatni, mianownik również (ponieważ n należy do naturalnych) więc an+1 - an >0 to oznacza że ciąg an jest rosnący.

Zad. 4 a) Zauważam, że:
$2^{2n+1}=(2^2)^n \cdot 2 = 4^n \cdot 2 \\ 2^{-n} = (\frac{1}{2})^n\\ \hbox{Dziele licznik i mianownik przez} \ 4^n: \\ \\ \lim\limits_{n\to\infty} \dfrac{(\frac{1}{2})^{n} + 3 \cdot 4^n}{3^n+4^n \cdot 2} = \lim\limits_{n\to\infty} \dfrac{\left(\frac{1}{8}\right)^n + 3}{\left(\frac{3}{4}\right)^n + 2} = \dfrac{0+3}{0+2} = \dfrac{3}{2}$

b) Z definicji sinusa kąta logicznym jest że -1 < sin (n!) < 1
Stąd mamy nierówność:
$-\dfrac{1}{n+1} \le \dfrac{\sin (n!)}{n+1} \le \dfrac{1}{n+1} \\ \hbox{Logiczne ze granice na krancach wynosza 0. tj:} \\ \lim\limits_{n\to\infty} \left( -\dfrac{1}{n+1}\right) = \lim\limits_{n\to\infty} \dfrac{1}{n+1} = \left[ \dfrac{1}{\infty}\right] = 0 \\ \hbox{Zatem na mocy twierdzenia o 3 ciagach rowniez:} \\ \lim\limits_{n\to\infty} \dfrac{\sin (n!)}{n+1} = 0$

c) Zauważ, że granica nawiasu wynosi:
$\lim\limits_{n\to\infty} \dfrac{3-n}{4+n} = \lim\limits_{n\to\infty} \dfrac{\frac{3}{n}-1}{\frac{4}{n}+1}= -1$
Mamy symbol $(-1)^{\infty}$ więc ciąg jest naprzemienny - raz dodatni raz ujemny. A to oznacza że granicy nie posiada.,
Zad. 5 a) zauważam, logiczną nierówność:

$2n^3+n^2 \ge n(n+1) \\ \\ 2n^3+n^2 \ge n^2+n \\ \\ n(2n^2+1) \ge n^2+n \qquad /:(2n^2+1) \\ \\ n \ge \dfrac{n^2+n}{2n^2+1} \qquad /(...)^{-1} \\ \\ \dfrac{2n^2+1}{n^2+n} \ge \dfrac{1}{n}$

Szereg 1/n jest rozbieżnym harmonicznym rzędu alfa = 1 więc Twój szereg na podstawie kryterium porównawczego jest rozbieżnym również.

Szereg 2. Potraktujmy go jako ciąg:
$a_n = \dfrac{(n!)^2 \cdot 3^{n+1}}{(2n+1)!} \\ \\ a_{n+1} = \dfrac{[(n+1)!]^2 \cdot 3^{n+2}}{(2n+3)!}= \dfrac{(n!)^2 \cdot (n+1)^2 \cdot 3^{n+1} \cdot3}{(2n+1)! \cdot (2n+2)(2n+3)}= \\ \\ =\underbrace{\dfrac{(n!)^2 \cdot 3^{n+1}}{(2n+1)!}}_{a_n} \cdot \dfrac{3(n+1)^2}{(2n+2)(2n+3)} = \dfrac{3n^2+6n+3}{4n^2+10n+6}a_n \\ \\ \lim\limits_{n\to\infty} \dfrac{a_{n+1}}{a_n} = \dfrac{\frac{3n^2+6n+3}{4n^2+10n+6}a_n}{a_n}= \lim\limits_{n\to\infty} \dfrac{3n^2+6n+3}{4n^2+10n+6}= \dfrac{3}{4}<1$

Więc na podstawie kryterium d'Alemberta Twój szereg jest zbieżny.

Ostatni:

$2n^{2,5}-n^{1,5} < n^3+2n \\ \\ n^{1,5}(2n-1) < n^3+2n \qquad /:(2n-1) \\ \\ n^{1,5} < \dfrac{n^3+2n}{2n-1} \qquad /(...)^{-1} \\ \\ \dfrac{2n-1}{n^3+2n} < \dfrac{1}{n^{1,5}}$

Wię na podstawie kryterium porównawczego szereg jest również zbieżny.

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Pokazuję że granica 4c) nie wynosi nieskończoność. Najpierw zauważam, że:
$\left(\dfrac{3-n}{n+4}\right)^n = \left( (-1) \cdot \dfrac{n-3}{n+4}\right)^n= (-1)^ n \cdot \left( \dfrac{n-3}{n+4}\right)^n=\\ =(-1)^n \cdot \left( \dfrac{n+4-7}{n+4}\right)^n = (-1)^n \cdot \left( 1-\dfrac{7}{n+4}\right)^n$

Liczę granicę drugiego nawiasu:

$\lim\limits_{n\to\infty} \left(1+\dfrac{-7}{n+4}\right)^n= \\ = \lim\limits_{n\to\infty} \left( \left( \left( 1+\dfrac{-7}{n+4}\right)^{\frac{n+4}{-7}\right)^{\frac{-7}{n+4}\right)^{n}= \\ \\ =\lim\limits_{n\to\infty} e^{\frac{-7n}{n+4}} = e^{\frac{-7}{1+\frac{4}{n}}}=e^{-7} = \dfrac{1}{e^7}$

Zatem Twoja granica wynosi:
$\lim\limits_{n\to\infty} (-1)^n \cdot \dfrac{1}{e^7}$

A to wynosi albo $\dfrac{1}{e^7}$ (dla n parzystych) albo $-\dfrac{1}{e^7}$ (dla n nieparzystych)

1 votes Thanks 2

dominnio Zadanie 1
$z=-1- \sqrt{3}i\\|z|= \sqrt{(-1)^2+(- \sqrt{3} )^2}= \sqrt{4}=2 \\ cos\phi= \frac{-1}{2} \\\phi= \frac{2}{3} \pi$

Zadanie 2
$z-z_0=z-i\\z_0=0+i$
Na płaszczyźnie będzie to koło o środku w punkcie (0,1) promieniu 2, z wyciętym środkiem w kształcie koła o środku w punkcie (0,1) i promieniu 1. UWAGA! Z krawędziami! ---> rysunek w załączniku

$Imz>Rez\\sin\phi>cos\phi\\
\phi \in( \frac{ \pi }{4} , \frac{5 \pi }{4} )$
Na płaszczyźnie będą to fragmentu okręgu (NIE koła!), o promieniu 2

Zadanie 3
Definicja ciągu rosnącego
$\bigwedge_{n\in N}a_{n+1}>a_n$
$a_n= \frac{n}{n+2} \\a_{n+1}= \frac{n+1}{n+3} \\a_{n+1}-a_n=\frac{n+1}{n+3} -\frac{n}{n+2}= \frac{(n+1)(n+2)-n(n+3)}{(n+3)(n+2)} =\frac{n^2+3n+2-n^2-3n}{(n+3)(n+2)}=\\=\frac{2}{(n+3)(n+2)}>0$
Zatem ciąg jest rosnący

Zadanie 4
$\lim_{n \to \infty} \frac{2^{-n}+3*4^n}{3^n+2^{2n+1}} = \lim_{n \to \infty} \frac{2^{-n}+3*4^n}{3^n+2*2^{2n}} =\lim_{n \to \infty} \frac{ \frac{ \frac{1}{2}^n }{4^n} +3}{ \frac{3^n}{4^n} +2}= \frac{3}{2}$

Twierdzenie o trzech ciągach
$\sum_{n+1}^\infty \frac{2n-1}{n^3+2n} \\ \lim_{n \to \infty} \frac{2(n+1)-1}{(n+1)^3+2(n+1)}* \frac{n^3+2n}{2n-1}=\\= \lim_{n \to \infty} \frac{2n+1}{n^3+3n^2+5n+3}* \frac{n^3+2n}{2n-1}= \\= \lim_{n \to \infty} \frac{2n^4+n^3+4n^2+2n}{2n^4+5n^3+7n^2+n-3}=\\ =\lim_{n \to \infty} \frac{2+ \frac{1}{n} +\frac{4}{n^2}+\frac{2}{n^3}}{2+\frac{5}{n}+\frac{7}{n^2}+\frac{1}{n^3}-\frac{3}{n^4}}=1$

Zadanie 5
$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2n^2+1}{n(n+1)} \\ \lim_{n \to \infty} \frac{ \frac{2(n+1)^2+1}{(n+1)(n+2)} }{ \frac{2n^2+1}{n(n+1)} } = \lim_{n \to \infty} \frac{2(n+1)^2+1}{n+2} *\frac{n}{2n^2+1} =\\= \lim_{n \to \infty} \frac{2n^3+4n^2+3n}{2n^3+4n^2+n+2}= \lim_{n \to \infty} \frac{2+\frac{4}{n}+ \frac{3}{n^2} }{2+ \frac{4}{n} + \frac{1}{n^2} + \frac{2}{n^3} } =1$
Skoro kryterium d''Alemberta nie wystarczy, spróbujmy kryterium porównawczym.
$\frac{2n^2+1}{n(n+1)} > \frac{n^2+1}{n(n+1)} > \frac{n^2}{n(n+1)} > \frac{n}{(n+1)} > \frac{1}{n}\\n^2-n-1>0$
Ta nierówność jest spełniona dla prawie wszystkich n (wszystkich dodatnich oprócz 1), to na mocy kryterium porównawczego udowodniliśmy zbieżność tego ciągu.

$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(n!)^2*3^{n+1}}{(2n+1)!}\\ \frac{((n+1)!)^2*3^{n+2}}{(2(n+1)+1)!}* \frac{(2n+1)!}{(n!)^2*3^{n+1}} = \frac{(n+1)^2*3}{(2n+3)(2n+2)} = \frac{3n^2+6n+3}{4n^2+10n+6} \\ \lim_{n \to \infty} \frac{3n^2+6n+3}{4n^2+10n+6}= \lim_{n \to \infty} \frac{3+ \frac{6}{n} +\frac{3}{n^2}}{4+ \frac{10}{n} + \frac{6}{n^2} }= \frac{3}{4}<1$
Ten szereg jest zbiezny

$\sum_{n+1}^\infty \frac{2n-1}{n^3+2n} \\ \lim_{n \to \infty} \frac{2(n+1)-1}{(n+1)^3+2(n+1)}* \frac{n^3+2n}{2n-1}=\\= \lim_{n \to \infty} \frac{2n+1}{n^3+3n^2+5n+3}* \frac{n^3+2n}{2n-1}= \\= \lim_{n \to \infty} \frac{2n^4+n^3+4n^2+2n}{2n^4+5n^3+7n^2+n-3}=\\ =\lim_{n \to \infty} \frac{2+ \frac{1}{n} +\frac{4}{n^2}+\frac{2}{n^3}}{2+\frac{5}{n}+\frac{7}{n^2}+\frac{1}{n^3}-\frac{3}{n^4}}=1$
Znów musimy spróbować inaczej.
$\frac{2n-1}{n^3+2n}<\frac{2n}{n^3+2n}=\frac{2}{n^2+2}< \frac{2}{n^2}< \frac{1}{n^{ \frac{3}{2} }}$
Szereg o wyrazach $\frac{1}{n^{ \frac{3}{2} }}$ jest zbieżny, więc na mocy tego nasz szereg również jest zbieżny

0 votes Thanks 0

Co jest większe czy

Jak duże zmieszczą się prezenty pod choinkami? Kratka jest 1x1

Jak duże zmieszczą się prezenty pod choinkami? Kratka jest 1x1

Rozważmy trapez prostokątny o podstawach 1 i 5 oraz ramionach 4 i , kąt prosty przy ramieniu 4. Jaki promień może mieć największy okrąg zawarty w tym trapezie?

Wyznacz dziedzinę funkcji f i naszkicuj jej wykres:

Załącznik ....................................

Załącznik .......................................

Załącznik .......................................

Załącznik .......................................

Załącznik .......................................

Recommend Questions

Life Enjoy

Get in touch

Social