Question

(Za wytłumaczenie czemu tak, anie inaczej dam najkę)

Suma sześciu początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego (an) jest trzy razy mniejsza od sumy kolejnych sześciu wyrazów tego ciągu. Oblicz pierwszy wyraz ciągu, jeżeli a2*a3=15.

Answer 1

Wzór na an-ty wyraz ciągu arytmetycznego:

--------------------------------------------

a₁+a₂+a₃+a₄+a₅+a₆ - suma pierwszych sześciu wyrazów ciągu arytmetycznego

a₇+a₈+a₉+a₁₀+a₁₁+a₁₂ - suma kolenych sześciu wyrazów ciągu arytmetycznego

Kązdy wyraz cigu możemy rozpisać jako sumę wyrazu pierwszego oraz różnicy ciągu za pomocą wzoru na a-nty wyraz ciągu, czyli:

a₁+a₂+a₃+a₄+a₅+a₆=a₁ + (a₁+r) + (a₁+2r) + (a₁+3r) + (a₁+4r) + (a₁+5r)=6a₁+15r

a₇+a₈+a₉+a₁₀+a₁₁+a₁₂=(a₁+6r) + (a₁+7r) + (a₁+8r) + (a₁+9r) + (a₁+10r) + (a₁+11r)=6a₁+51

 

Z treści zadania wiemy, że suma sześciu początkowych wyrazów ciągu (od a₁ do a₆) jest 3 razy mniejsza od sumy kolejnych sześciu wyrazów ciągu (od a₇ do a₁₂), czyli można zapisać:

3*(a₁+a₂+a₃+a₄+a₅+a₆)=a₇+a₈+a₉+a₁₀+a₁₁+a₁₂

[Potrojona suma sześciu pierwszych wyrazów jest równa sumie sześciu kolejnych wyrazów]

lub prościej:

3*(6a₁+15r)=6a₁+51r    (#)

 

Z treści wynika również, że iloczyn drugiego i trzeciego wyrazu jest równy 15, czyli:

a₂*a₃=15

(a₁+r)(a₁+2r)=15           (##)

 

Równania (#) i (##) tworzą układ równań:

{3*(6a₁+15r)=6a₁+51r   |:3

{(a₁+r)(a₁+2r)=15

---

{6a₁+15r=2a₁+17r

{(a₁+r)(a₁+2r)=15

---

{6a₁-2a₁=17r-15r

{(a₁+r)(a₁+2r)=15

---

{4a₁=2r                       |:2

{(a₁+r)(a₁+2r)=15

---

{r=2a₁

{(a₁+2a₁)(a₁+2*2a₁)=15

---

{r=2a₁

{3a₁*(a₁+4a₁)=15

---

{r=2a₁

{3a₁*5a₁=15

---

{r=2a₁

{15a₁²=15

---

{r=2a₁

{a₁²=1

---

{r=2a₁

{a₁-1=0

---

{r=2a₁

{(a₁-1)(a₁+1)=0

---

{r=2a₁

{a₁=1  lub  a₁=-1

---

Odpowiedź pierwsza:

{a₁=1 

{r=2

---

Odpowiedź druga:

{a₁=-1

{r=-2

-------------------------------

Odpowiedź drugą należy odrzucić, ponieważ suma odpowiednich wyrażeń, nie będzie spełniała warunków zadania - suma wyrazów od a₆ do a₁₂ jest trzy razy mniejsza, niż suma wyrazów od a₁ do a₆.

[Ponieważ ciąg którego różnica jest mniejsza od zera (r<0) jest ciągiem malejącym - czyli suma jego n+1 wyrazów będzie mniejsza od sumy n wyrazów].

-------------------------------

Prawidłową odpowiedzią jest zatem odpowiedź:

{a₁=1

{r=2

===================================

Sprawdzenie:

a₆=a₁+5r

a₆=1+10=11

S₆=[(a₁+a₆)*n]/2

S₆=[(1+11)*6]/2

S₆=(1+11)*3

S₆=36

---

a₇=a₆+r

a₇=11+2=13

a₁₂=a₁+11r

a₁₂=1+22=23

S₁₂=[(a₁+a₁₂)*n]/2

S₁₂=[(1+23)*12]/2

S₁₂=24*6

S₁₂=144

---

Suma wyrazów od a₇ do a₁₂ to różnica sumy jego dwunastu początkowych wyrazów oraz sumy jego sześciu początkowych wyrazów:

S=S₁₂-S₆=144-36=108

---

Porównuję sumy - czy potrojona suma pierwszych sześciu wyrazów (od a₁ do a₆) jest równa sumie kolejnych sześciu wyrazów (od a₇ do a₁₂):

3S₆=S

3*36=108

108=108

L=P