Question

Mam zadanie:
Znajdź współrzędne wierzchołków hiperboli
a) y=1/x+4
b) y=1/(x-4)-7

Odpowiedzi do tego zadania są następujące:
a) (-3;1) i (-5;-1)
b)(5;-6) i (3;-8)
Czy mógłby mi ktoś wytłumaczyć skąd to się wzięło i jak to liczyć?

Answer 1

Znajdź współrzędne wierzchołków hiperboli
a) y=1/x+4
kazda hiperbola ma 2 osie symetrii, wierzchołki hiperboli leza na jednej z tych osi
jesli masz funkcję podstawowa[ czyli bez p i q] wtedy wierzchołki hiperboli obliczysz ze wzorów;
dla a>0  (√a ; √a)  ( -√a ; -√a)
dla a< 0  ( √ (-a) ; - √(-a)  )    ( - √(-a) ; √(-a)  ]
np. masz funkcję; y= 9/x
a>0  czyli hiperbola ma wierzchołki w punktach; ( 3;3)(-3;-3)

srodek symetrii to punkt przeciecia sie osi symetrii, gdy masz funkcje typu ; y= a/x  , to punkt przeciecia sie osi symetrii = ( 0,0), ale gdy masz np. y= 3 / (x+2), czyli p=-2  q=0, czyli asymptota pionowa to x=-2  i pozioma to y=0, czyli punkt (-2;0) to srodek symetrii  [ punkt przeciecia sie aSYmptot]

gdy masz y= -2/x    +3    to ; p=0  q=3
czyli asymptota pionowa= x=0    pozioma ; y=3
a srodek symetrii = (0,3)
jak masz obliczyć równanie osi symetrii?
hiperbola podstawowa ( osrodku symetrii (0,0) ] ma 2 osie ;
y=x  i    y=-x
ale np. dla y= -2 / ( x+4 )  +2
srodek symetrii S=(-4;2) bo to są po prostu asymptoty; x=-4    y=2
w takim wypadku osie symetrii wykresu o środku S( -4,2) to prosta równoległa do podstawowych i przechodzaca przez punkt S( -4,2)

czyli wyznaczasz oś symetrii równoległa do osi Y                       y=x
y=ax+b            a=1                S=(-4,2)
2=2*x-4+b
b=2+4=6  czyli równanie osi symetrii ; y= x+6
teraz wyznaczasz os symetrii równoległa do prostej y=-x
y=ax+b              a=-1            S=(-4,2)
3=-1*(-4)+b
b=-2, czyli druga oś symetrii ma równanie ; y=-x-2

teraz Twoje zadanie;
y=1/(x+4)    podstawa to y=1/x    czyli ,, a ,, >0    wierzchołek byłby miał współrzedne ; ( 1,1) (-1,-1)
ale Twoja funkcja oznacza przesuniecie o 4 jednostki w lewo, czyli pierwsze współrzedne z nawiasków pomniejszasz o 4 i masz;
1-4=-3        druga współrzedna pozostaje bez zmiany    powstaje wierzchołek ( -3,1)
-1-4=-5                                                                           I = I                      (-5,-1)      


b) y=1/(x-4)-7
teraz masz przesuniecie o 4 w prawo i 7 w dół, wiec zmianie ulegna obie współrzedne z podstawowych ( 1,1)(-1,-1)

1+4=5                1 -7=-6          wierzchołek = ( 5,-6)
-1+4=3                -1-8=-8            wierzchołek= (3,-8)