Question

Znajdź współrzędne wierzchołków hiperboli:
a)y=-2/x-3 +1
b)y=-3/x+1 -8

Odpowiedzi powinny być:
a)(3-√2 ; 1+√2) (3+√2 ; 1-√2)
b)(√3-1 ; -√3-8) (-√3-1 ; √3-8)


Skąd to się wzięło? Dla a>0 umiem już liczyć ale dla a<0 już nie :/

Answer 1

Wierzchołki hiperboli o wzorze  mają współrzędne w punktach:
 oraz   dla a > 0

 oraz    dla a < 0

Zrób sobie pomocniczy rysunek.
Natomiast hiperbola o wzorze:

jest hiperbolą y = a / x  przesuniętą o wektor [b, c], tzn. dla b > 0 w prawo, a dla b < 0 w lewo, natomiast dla c > 0 w górę, a dla c < 0 w dół. Gdy b lub c są zerami, to nie ma przesunięcia poziomego lub pionowego. Jednocześnie prosta x = b jest asymptotą pionową, zaś  y = c jest asymptotą poziomą tych hiperbol. Asymptoty to proste, do których wykresy się zbliżają, ale nigdy ich nie przetną (chyba że umownie przyjmie się, że przetną w nieskończoności).
Przesunięcie dotyczy wszystkich punktów hiperboli, a więc także ich wierzchołków. Zatem nasze wierzchołki mają wzór:
(√(a)+b, √(a)+c) oraz (-√(a)+b, -√(a)+c)  dla a > 0
(-√(-a)+b, √(-a)+c) oraz (√(-a)+b, -√(-a)+c)  dla a < 0
a)

a = -2, b=3, c=1
Po wstawieniu do powyższego wzoru otrzymamy:
(-√2 + 3, √2 + 1) oraz (√2 + 3, -√2 + 1)

b)

a=-3, b=-1, c=-8
(-√3 - 1, √3 - 8) oraz (√3 - 1, -√3 - 8)