Question

Wykaz że dla m = 2 nierówność zachodzi dla wszystkich liczb rzeczywistych.

a)x² + mx + 2m - 1 >0

b) -mx² + 3x + 2 - 3m < 0

Answer 1

X² + mx + 2m - 1 >0
m = 2
x² + 2x + 2*2 - 1 >0
x² + 2x + 3 >0

Wykresem jest parabola z ramionami skierowanymi ku górze:
a = 1 , a > 0

aby ta nierówność była zawsze prawdziwa nie może mieć miejsc zerowych, musi cała leżeć nad osią OX.
x² + 2x + 3 >0
a = 1, b = 2, c = 3
Δ = b² - 4ac
Δ = 2² - 4*1*3 = 4 - 12 = -8 <0
nie ma miejsc zerowych.

Odp.
Dla m = 2 nierówność ta zachodzi dla wszystkich liczb rzeczywistych

b)-mx² + 3x + 2 - 3m < 0
m = 2
-2x² + 3x - 4 < 0

ta parabola ma ramiona skierowane ku dołowi
i również aby ta nierówność była prawdziwa dla wszystkich liczb rzeczywistych - nie może mieć miejsc zerowych czyli :
musi być Δ<0
-2x² + 3x - 4 < 0
a = -2, b = 3, c = -4
Δ = b² - 4ac
Δ = 3² - 4*(-2)*(-4) = 9 - 32 = -23 <0

Odp.
Dla m = 2 nierówność ta zachodzi dla wszystkich liczb rzeczywistych