Question

Wykaż, że:
(załącznik)

Answer 1

Jezeli NWD dwoch liczb calkowitych, z ktorych co najmniej jedna jest rozna od zera jest rowny 1, to liczby te sa liczbami peirwszymi wzgledem siebie.
Nalezy teraz wykazac, ze po lewej stronie liczby te sa wzglednie pierwsze.
tzn. nie maja wspolnych dzielnikow calkowitych.


II sposob:
Twierdzenie:
Liczby a i b sa wzglednie pierwsze, gdy istnieja takie liczby calkowite k, m, ze:
ak+bm=1
oraz algorytm Euklidesa NWD(a,b)=NWD(a-b,a)
a>b i a,b ∈N

5a+4b-(4a+3b)=a+b
Stosujemy algorytm kilka razy:
4a+3b-(a+b)=3a+2b
3a+3b-(a+b)=2a+b
2a+b-(a+b)=a
Z tego wynika, ze NWD(5a+4b,4a+3b)=NWD(a,b)  ⇔ NWD(a,b)=1

 NWD(5a+4b,4a+3b)  ⇔ NWD(a,b)=1

Answer 2

Z def. NWD
Największym wspólnym dzielnikiem dwóch liczb całkowitych jest największa z liczb, która dzieli obie te liczby bez reszty.
a ≠ 0    i      b ≠ 0



NWD (5a+4b, 4a+3b) = 1