Question

Wykaż, że dla każdej liczbynaturalnej n zachodzi:

a) 1+5+9+...+(4n-3)=n(2n-1)

b) sin2x+sin4x + ..+ sin2nx= \frac{1}{2}ctgx- \frac{cos(2n+1)x}{2sinx}

DAJĘ NAJ

Answer 1

Nie wiem w jaki sposob macie to udowodnic... Jesli za pomoca indukcji to wyglada to nastepujaco:

a)sprawdzimy czy zachodzi dla n=1

L=1

P=1(2*1-1)=1

a zatem L=P

czyli udowdnilismy ze rownosc jest prawdziwa dla n=1

Załóżmy ze równość jest pawdziwa dla n czyli zachodzi 1+5+9+...+(4n-3)= n(2n-1). Udowodnimy prawdziwosc rownosci dla n+1, czyli że 1+5+9+...+(4(n+1)-3)= (n+1)(2(n+1)-1), czyli że 1+5+9+...+(4(n+1)-3)= (n+1)(2n+1)= 2n^2+n+2n+1=2n^2+3n+1

L=1+5+9+...+(4n-3)+(4(n+1)-3)=n(2n-1)+(4(n+1)-3)=n(2n-1)+(4n+4-3)=2n^2-n+4n+1=2n^2+3n+1

cnd

 

co do punktu b to nie jestem pewna jak wyglada druga strona rownania, bo jest napisana niezrozumiale.