Witam,proszę o rozwiązanie nierówności na etapie matury rozszerzonej:Proszę również o stosowne komen.... Question from @lysavietta

zaczniemy od elementarnych przekształceń:

$\left| 2 cos \left( \frac{\pi}{6} + x\right) \right| > \sqrt{3}\\ 2\left|cos \left( \frac{\pi}{6} + x\right) \right| > \sqrt{3}\\ \left|cos \left( \frac{\pi}{6} + x\right) \right| > \frac{\sqrt{3}}{2}$

teraz możemy pozbyć się wartości bezwzględnej:

$\begin{cases} cos \left( \frac{\pi}{6} + x\right) > \frac{\sqrt{3}}{2}\\ cos \left( \frac{\pi}{6} + x\right) \geq 0\end{cases} \vee \begin{cases} - cos \left( \frac{\pi}{6} + x\right) > \frac{\sqrt{3}}{2}\\ cos \left( \frac{\pi}{6} + x\right) < 0\end{cases}\\ cos \left( \frac{\pi}{6} + x\right) > \frac{\sqrt{3}}{2} \vee \begin{cases} cos \left( \frac{\pi}{6} + x\right) < - \frac{\sqrt{3}}{2}\\ cos \left( \frac{\pi}{6} + x\right) < 0\end{cases}$

ostatecznie otrzymujemy:

$cos \left( \frac{\pi}{6} + x\right) > \frac{\sqrt{3}}{2} \vee cos \left( \frac{\pi}{6} + x\right) < - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Wprowadzimy zmienną pomocniczą: $t = x + \frac{\pi}{6}$

Teraz musimy przyjrzeć się wykresowi funkcji cos (t), naniesiemy również proste $y = \frac{\sqrt{3}}{2}$ oraz $y = - \frac{\sqrt{3}}{2}$ . Zostało już tylko odczytać punkty przecięcia wykresów i napisać odpowiedź (postępujemy podobnie jak w wypadku odczytywania rozwiązań nierówności kwadratowej).

Zaczniemy od

$cos \left(t\right) > \frac{\sqrt{3}}{2}$

Wiadomo, że $cos\left(\frac{\pi}{6}}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ - to jest pierwszy punkt przecięcia z prostą $y = \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

Ponadto, ze wzorów redukcyjnych (lub parzystości funkcji cosinus) mamy, że

$cos\left(\frac{11\pi}{6}}\right) = cos\left(2\pi - \frac{\pi}{6}}\right) = cos\left(\frac{\pi}{6}}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

otrzymaliśmy współrzędne drugiego punktu.

Interesuje nas oczywiście ten przedział w którym wykres funkcji cosinus znajduje się nad prostą $y = \frac{\sqrt{3}}{2}$ :

$t \in \left(0, \frac{\pi}{6}\right) \cup \left(\frac{11\pi}{6}, 2\pi \right>$

Analogicznie postępujemy w drugim przypadku:

$cos \left( t\right) < -\frac{\sqrt{3}}{2}$

Wiadomo, że $cos\left(\frac{\pi}{6}}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ . Ponadto, ze wzorów redukcyjnych mamy, że

$cos\left(\frac{5\pi}{6}}\right) = cos\left(\pi - \frac{\pi}{6}}\right) = - cos\left(\frac{\pi}{6}}\right) = - \frac{\sqrt{3}}{2}\\ cos\left(\frac{7\pi}{6}}\right) = cos\left(\pi + \frac{\pi}{6}}\right) = - cos\left(\frac{\pi}{6}}\right) = - \frac{\sqrt{3}}{2}$

otrzymaliśmy współrzędne punktów przecięcia wykresu cosinusa z prostą $y = - \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

Interesuje nas oczywiście ten przedział w którym wykres funkcji cosinus znajduje się pod prostą $y = - \frac{\sqrt{3}}{2}$ :

$t \in \left(\frac{5\pi}{6}, \frac{7\pi}{6}\right)$

W ten sposób otrzymaliśmy rozwiązania na przedziale $\left(0, 2\pi\right>$ :

$t \in \left(0, \frac{\pi}{6}\right) \cup \left(\frac{5\pi}{6}, \frac{7\pi}{6}\right) \cup \left(\frac{11\pi}{6}, 2\pi \right>$

Rozwiązanie dla $t \in R$ :

$t \in \left(-\frac{\pi}{6} + k\pi, \frac{\pi}{6} + k\pi\right), \ k \in C$

Na końcu podstawiamy pod t:

$t \in \left(-\frac{\pi}{6} + k\pi, \frac{\pi}{6} + k\pi\right), \ k \in C\\ x + \frac{\pi}{6} \in \left(-\frac{\pi}{6} + k\pi, \frac{\pi}{6} + k\pi\right), \ k \in C\\ x \in \left(-\frac{2\pi}{6} + k\pi, 0 + k\pi\right), \ k \in C\\ x \in \left(-\frac{\pi}{3} + k\pi, k\pi\right), \ k \in C$

http://www.wolframalpha.com/input/?i=plot+cos%28t%29%2C+sqrt{3}%2F2%2C+-sqrt{3}%2F2%2C+t+%3D+0+to+2pi

1 votes Thanks 1

Przeciwprostokątna trójkąta prostokątnego ma długość 17, a przyprostokątne różnią się o 7. Wyznacz długości boków tego trójkąta.

Udowodnij, że kwadraty wyrażeń: w podanej kolejności tworzą ciąg arytmetyczny.

Proszę przetłumaczyć poniższe zdanie na język niemiecki w czasie przeszłym Perfekt:Moja siostra wczoraj nagle straciła przytomność i wskutek tego musieliśmy natychmiast jechać do szpitala.

Wyznacz wszystkie liczby m e R, dla których równaniema dwa różne pierwiastki rzeczywiste takie, że

Oblicz p i q dla przypadku, w którym wielomiany P(x) i R(x) są równe:

Rozwiąż układ równań:\left \{ {{x(3y^{3}-2y)-y(3x^{3}-2x)=0} \atop {x^{4}+y^{4}=x^{2}+y^{2}}} \right

Rozwiąż równanie:

Rozwiąż układ równań:

Rozwiąż następujące równanie:

Recommend Questions

Life Enjoy

Get in touch

Social