Wierzchołki A i C kwadratu ABCD są punktami przecięcia paraboli o równaniu z prostą o równaniu .a)n.... Question from @Damian

Zgłoś nadużycie!

Obliczam współrzędne punktów $A$ i $C$

Wierzchołki A i C kwadratu ABCD są punktami przecięcia paraboli o równaniu $y=x^2-4x+3$ z prostą o równaniu $y=2x-5$ .

$\begin{cases}y=x^2-4x+3\\y=2x-5\end{cases}$

$\begin{cases}2x-5=x^2-4x+3\\y=2x-5\end{cases}$

$\begin{cases}2x-5-x^2+4x-3=0\\y=2x-5\end{cases}$

$\begin{cases}-x^2+6x-8=0 \ /\cdot (-1)\\y=2x-5\end{cases}$

$\begin{cases}x^2-6x+8=0 \\y=2x-5\end{cases}$

---------------

$\Delta=(-6)^2-4\cdot 1\cdot 8=36-32=4$

$\sqrt{\Delta}=\sqrt{4}=2$

$x_1=\frac{6-2}{2}=2$

$x_2=\frac{6+2}{2}=4$

---------------

$\begin{cases}x=2\\y=2x-5\end{cases} \ \ \ lub \ \ \ \begin{cases}x=4\\y=2x-5\end{cases}$

$\begin{cases}x=2\\y=2\cdot 2-5\end{cases} \ \ \ lub \ \ \ \begin{cases}x=4\\y=2\cdot 4-5\end{cases}$

$\begin{cases}x=2\\y=4-5\end{cases} \ \ \ lub \ \ \ \begin{cases}x=4\\y=8-5\end{cases}$

$\begin{cases}x=2\\y=-1\end{cases} \ \ \ lub \ \ \ \begin{cases}x=4\\y=3\end{cases}$

$A=(2,-1)$

$C=(4,3)$

Obliczam współrzędne środka okręgu (środka odcinka AC)

$O=(\frac{x_A+x_C}{2},\frac{y_A+y_C}{2})$

$O=(\frac{2+4}{2},\frac{-1+3}{2})$

$O=(\frac{6}{2},\frac{2}{2})$

$O=(3,1)$

Obliczam promień okręgu

$r=\frac{1}{2}|AC|$

$r=\frac{1}{2}\sqrt{(x_C-x_A)^2+(y_C-y_A)^2}$

$r=\frac{1}{2}\sqrt{(4-2)^2+(3+1)^2}$

$r=\frac{1}{2}\sqrt{2^2+4^2}$

$r=\frac{1}{2}\sqrt{4+16}$

$r=\frac{1}{2}\sqrt{20}$

$r=\frac{1}{2}\cdot 2\sqrt{5}$

$r=\sqrt{5}$

Równanie okręgu:

$(x-3)^2+(y-1)^2= (\sqrt{5})^2$

$(x-3)^2+(y-1)^2= 5$

==========================

Przekątne kwadratu są do siebie prostopadłe, więc pozostałe wierzchołki kwadratu muszą leżeć na prostej prostopadłej do prostej $y=2x-5$ i przechodzącej przez środek okręgu.

Równanie prostej prostopadłej jest postaci:

$y=-\frac{1}{2}x+b$

Prosta musi przechodzić przez punkt $O=(3,1)$ , więc jego współrzędne muszą to równanie spełniać.

$1=-\frac{1}{2}\cdot 3+b$

$1=-\frac{3}{2}+b$

$b=1+\frac{3}{2}$

$b=2,5$

Równanie prostej zawierającej dwa pozostałe wierzchołki to:

$y=-\frac{1}{2}x+2,5$

Obliczam współrzędne wierzchołków $B$ i $D$

$\begin{cases}y=-\frac{1}{2}x+2,5\\ (x-3)^2+(y-1)^2= 5\end{cases}$

$\begin{cases}y=-\frac{1}{2}x+2,5\\ (x-3)^2+(-\frac{1}{2}x+2,5-1)^2= 5\end{cases}$

$\begin{cases}y=-\frac{1}{2}x+2,5\\ (x-3)^2+(-\frac{1}{2}x+1,5)^2= 5\end{cases}$

$\begin{cases}y=-\frac{1}{2}x+2,5\\ x^2-6x+9+0,25x^2-1,5x+2,25= 5\end{cases}$

$\begin{cases}y=-\frac{1}{2}x+2,5\\ x^2-6x+9+0,25x^2-1,5x+2,25-5=0\end{cases}$

$\begin{cases}y=-\frac{1}{2}x+2,5\\ 1,25x^2-7,5x + 6,25=0\end{cases}$

--------------------

$1,25x^2-4,5x + 7,25=0 \ / :1,25$

$x^2-6x+5=0$

$\Delta=(-6)^2-4\cdot 1\cdot 5=36-20=16$

$\sqrt{\Delta}= \sqrt{16}=4$

$x_1= \frac{6-4}{2}=1$

$x_2= \frac{6+4}{2}=5$

--------------------

$\begin{cases}x=1\\y=-\frac{1}{2}x+2,5\end{cases}\ \ \ lub \ \ \ \begin{cases}x=5\\y=-\frac{1}{2}x+2,5\end{cases}$

$\begin{cases}x=1\\y=-\frac{1}{2}\cdot 1+2,5\end{cases}\ \ \ lub \ \ \ \begin{cases}x=5\\y=-\frac{1}{2}\cdot 5+2,5\end{cases}$

$\begin{cases}x=1\\y=-0,5+2,5\end{cases}\ \ \ lub \ \ \ \begin{cases}x=5\\y=-2,5+2,5\end{cases}$

$\begin{cases}x=1\\y=2\end{cases}\ \ \ lub \ \ \ \begin{cases}x=5\\y=0\end{cases}$

$B=(5,0)$

$D=(1,2)$

==========================

Obliczam pole kwadratu

Przekątna kwadratu jest równa średnicy okręgu opisanego na tym kwadracie.

$P=\frac{(2r)^2}{2}$

$P=\frac{4r^2}{2}$

$P=2r^2$

$P=2\cdot 5$

$P=10$

3 votes Thanks 1

Co jest większe czy

Jak duże zmieszczą się prezenty pod choinkami? Kratka jest 1x1

Jak duże zmieszczą się prezenty pod choinkami? Kratka jest 1x1

Rozważmy trapez prostokątny o podstawach 1 i 5 oraz ramionach 4 i , kąt prosty przy ramieniu 4. Jaki promień może mieć największy okrąg zawarty w tym trapezie?

Wyznacz dziedzinę funkcji f i naszkicuj jej wykres:

Załącznik ....................................

Załącznik .......................................

Załącznik .......................................

Załącznik .......................................

Załącznik .......................................

Recommend Questions

Life Enjoy

Get in touch

Social