Question

W trapezie równoramiennym ABCD krótsza podstawa CD=4 cm a ramię AD=10cm. Wysokosc DE trapezu przecina przekątną AC w punkcie M tak że MC:AM= 2:3 oblicz długość drugiej podstawy i długość przekątnej trapezu

Answer 1

Skoro MC:AM=2/3, to dla ułatwienia możemy zapisać, że odcinek MC to 2x i AM to 3x (patrz rysunek). Zauważ, że trójkąty zaznaczone na czerwono są podobne (jedna para to kąty prostokątne, a druga są do siebie wierzchołkowe [przy wierzchołku M]), więc można napisać jakąś proporcję. Najlepsza będzie taka:
MC/DC=AM/AE // najlepsza, bo znamy 3 na 4 długości
podstawiamy:
2x/4=3x/AE |:x // dziele stronami przez x, który się skraca
1/2=3/AE // na krzyż:
AE=2*3=6
Skoro jest to trapez równoramienny, to odcinek po drugiej stronie (FB) też ma długość 6, więc cała podstawa ma długość:
6+6+4=16 // 4, bo odcinek EF ma długość 4
obie przekątne są równej długości, bo jest to trapez równoramienny, AC=BD, wystarczy obliczyć tylko jedną
np z Pitagorasa:
AF^2+CF^2=AC^2, ojoj przecież nie znamy CF!
żaden problem, możemy znaleść inny trójkąt prostokątny, który zawiera CF, np.: trójkąt AED:
AE^2+EC^2=AD^2 //podstawiamy:
6^2+EC^2=10^2
36+EC^2=100 |-36
EC^2=64
EC=8
teraz możemy wrócić do naszego głównego równania:
AF^2+CF^2=AC^2
(6+4)^2+8^2=AC^2
100+64=AC^2
164=AC^2
AC=BD=2sqrt[41]

PS.: Coś się popsuło nie mogę wstawić symboli matematycznych, znak ^ to potęga, a sqrt[jaka_liczba] to pierwiastek z jakiejś_liczby, tutaj jest tylko jeden: dwa pierwiastki z 41