Question

W ostroslupie prawidlowym czworokatnym kąt nachylenia krawędzi bocznej o długości 10√2 do płaszczyzny podstawy wynosi 60⁰.Oblicz objętośc i pole powierzchni całkowitej tego ostrosłupa.

Answer 1

Ostrosłup prawidłowy czworokątny to  ostrosłup o kwadracie w podstawie i trojkątach równoramiennych jako ścianach bocznych.

Jeżeli kąt nachylenia krawędzi bocznej do podstawy jest równy 60 stopni to wiadomym jest, że przecilegle krawędzie wraz z przekątną podstawy tworzą trójkąt równoboczny (dlaczego? ponieważ w tym przypadku i jedna i druga krawędź jest nachylona do podstawy pod kątem 60 stopni, a więc w sumie 120 stopni, łączna wielkość wszystkich kątów trójkąta ma zawsze 180 stopni, a więc wszsytkie kąty mają 60 stopni, a żeby tak było wszystkie boki musza być równe). Jest to więc trójkąt równoboczny o boku 10.

Teraz już bardzo prosto wyliczymy i obwód i pole.

Obwód:

O = Pole ścian bocznych (4 trójkąty równoramienne) + pole podstawy, którą jest kwadrat o przekątnej równej długości krawędzi bocznej ostrosłupa.

Z pola podstawy ostrosłupa wynika, że podstawa ścian bocznych ma długość 10cm (pole podstawy jest równe 100, a jako, że jest to kwadrat to bok kwadratu będzie równy 10)

A więc wysokość ścian bocznych jest równa:

h = (10 - 5^ = 75

h = 5

Więc pole ściany bocznej jest równe:

p = 1/2 x a x h = 1/2 x 10 x 5 = 25

O = 4x(25) + 1/2(10\

O = 100 + 100

Pole:

Potrzebna nam  będzie wysokość, pole podstawy już znamy i jest równe 100

Wysokośc ostrosłupa policzymy łatwo z trójkąta wcześniej omawianego równobocznego :

H = (10 - (5 = 200 - 50 = 150

H = = 5

a więc objętość:

V = 1/3 (P x H) = 1/3(100x5) = 1/3(500) = 166 i 2/3 cm