Question

W okrąg o środku O wpisano trójkąt ABC tak , że O jest punktem wewnętrzym trójkąta ABC. Z wierzchołka B poprowadzono wysokość BD i średnicę BE. Wykaż że

Answer 1

Trójkąt ABC jest prostokatny, bo kąt BAE  jest prosty( jako kąt wpisany w okrąg

oparty na jego średnicy ).

Trójkąt CDB też jest prostokatny, bo kąt CDB jest prosty ( odcinek BD jest wysokością trójkąta ABC, więc jest prostopadły do odcinka AC i tym samym do odcinka CD).

Kąty  AEB  i  CDB  są równe jako katy wpisane w okrąg oparte na tym samym łuku AB,

Trójkąty ABE  i  CDB  mają po 2 katy równe, zatem i trzecie kąty muszą być równe.

Dlatego na mocy cechy podobieństwa trójkatów  KKK ,te trójkaty są podobne.

Mamy więc

BE / BA = BC / BD

czyli

BE * BD = BA * BC

================

co kończy dowód.