Question

1 Liczby a,b,c,d,e,f tworzą ciąg geometryczny

a) wyznacz miejsca zerowe funkcji dla

b) rozwiąż nierówność dla a= -1 i ilorazu 2.

Answer 1

Zad. 1

a, b, c, d, e, f  - ciąg geometryczny

q - iloraz ciągu geometrycznego

Zatem:

a = a

b = aq

c = aq²

d = aq³

e = aq⁴

f = aq⁵

 

a)

W(x) = ax⁵ - bx⁴ - 2cx³ + 2dx² + ex - f; a ≠ 0

ax⁵ - bx⁴ - 2cx³ + 2dx² + ex - f = 0

ax⁵ - aqx⁴ - 2aq²x³ + 2aq³x² + aq⁴x - aq⁵ = 0  /:a

x⁵ - qx⁴ - 2q²x³ + 2q³x² + q⁴x - q⁵ = 0

x⁴·(x - q) - 2q²x²·(x - q) + q⁴·(x - q) = 0

(x - q)(x⁴ - 2q²x² + q⁴) = 0

(x - q)(x² - q²)² = 0

(x - q)[(x - q)(x + q)]² = 0

(x - q)(x - q)²(x + q)² = 0

(x - q)³(x + q)² = 0

(x - q)³ = 0 ∨ (x + q)² = 0

 

(x - q)³ = 0

x - q = 0

x = q

 

(x + q)² = 0

x + q = 0

x = - q

 

Odp. Miejsca zerowe funkcji W(x) to q i - q, czyli iloraz ciągu geometrycznego i liczba do niego przeciwna.

 

b)

a = - 1; q = 2

W(x) ≥ 0

ax⁵ - bx⁴ - 2cx³ + 2dx² + ex - f ≥ 0

a = - 1

b = - 1·2 = - 2

c = - 1·2² = - 1·4 = - 4

d = - 1·2³ = - 1·8 = - 8

e = - 1·2⁴ = - 1·16 = - 16

f = - 1·2⁵ = - 1·32 = - 32

 

-x⁵ + 2x⁴ + 8x³ - 16x² - 16x + 32 ≥ 0

- x⁴·(x - 2) + 8x²·(x - 2) - 16·(x - 2) ≥ 0

(x - 2)(- x⁴ + 8x² - 16) ≥ 0

- (x - 2)(x⁴ - 8x² + 16) ≥ 0  /·(- 1)

(x - 2)(x⁴ - 8x² + 16) ≤ 0

(x - 2)(x² - 4)² ≤ 0

(x - 2)[(x - 2)(x + 2)]² ≤ 0

(x - 2)(x - 2)²(x + 2)² ≤ 0

(x - 2)³(x + 2)² ≤ 0

Znajdujemy miejsca zerowe:

(x - 2)³(x + 2)² = 0

(x - 2)³ = 0 ∨ (x + 2)² = 0

 

(x - 2)³ = 0

x - 2 = 0

x = 2

 

(x + 2)² = 0

x + 2 = 0

x = - 2

 

Zaznaczamy miejsca zerowe - 2 i 2 na osi i rysujemy wykres. Wykres zaczynamy rysować z prawej strony od góry, bo wspólczynnik przy największej potędze zmiennej x jest większy od zera. Wykres przecina oś w miejscu zerowym 2, bo jest to pierwiastek 3-krotny i 'odbija się" od osi w miejscu zerowym - 2, bo jest to pierwiastek 2-krotny.

Z wykresu odczytujemy rozwiązanie, czyli zbiór tych argumentów, dla których wartości są mniejsze lub równe zero (leżą na osi lub pod osią):

x ∈ (- ∞; 2>

 

Odp. x ∈ (- ∞; 2>