Question

1. Wykaż że dla wszystkich a należy do (0,1) i dla wszystkich b nalezacych do (1,\infty) spełniona jest nierówność

Answer 1

 

Korzystamy z własności logarytmów

 

Wprowadzam dodatkową zmienną:

 

Biorąc pod uwagę założenia dla a i b oraz własności funkcji logarytmicznej, czyli jeśli podstawa logarytmu, czyli b ∈ (1; + ∞) i liczba logartymowana a ∈ (0; 1) wtedy logarytm z liczby a przy podstawie b, czyli v jest mniejsze od zera (v < 0)

 

Zatem otrzymujemy:

Możemy obie strony nierówności pomnożyć przez v, bo v ≠ 0, ponadto v < 0, czyli mnożąc przez v zmieniamy znak nierówności:

Ustalamy miejsca zerowe:

Stąd:

a skąd wniosek, że