Question

1 Wykaż, że jeśli liczby a-b,ab i c-a są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego to liczby są kolejnymi wyrazami ćiagu geometrycznego.

2. Suma sześciu początkowych wyrazów malejącego ciągu geometrycznego jest 72 razy większa od sumy trzech kolejnych jego wyrazów. Wyznacz wzór ogólny ciągu, jeżeli iloczyn wyrazu drugiego i czwartego jest równy 4.

Proszę o pomoc!!!

Answer 1

Zad. 1

Każdy wyraz ciągu arytmetycznego, oprócz pierwszego i ostatniego, jest średnią arytmetyczną wyrazów sąsiadujących, czyli , stąd

 

Każdy wyraz ciągu geometrycznego, oprócz pierwszego i ostatniego, jest średnią geometryczną wyrazów sąsiadujących, czyli , stąd

 

 

- kolejne wyrazy ciągu arytmetycznego

Stąd:

 

- kolejne wyrazy ciągu geometrycznego ?

Sprawdzamy:

Wiemy, że c - b = 2ab

Zatem:

Równość jest prawdziwa, czyli liczby są kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego, jeśli liczby a - b,ab i c - a są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego.

 

Zad. 2

Ciąg jest ciągiem geometryczny malejącym, zatem iloraz q jest różny od 1 (bo dla q = 1 byłby to ciąg stały) i większy od zera (bo dla q < 0 byłby to ciąg naprzemienny).

Zał: q ≠ 1 i q > 0

 

Z treści zadania: Suma sześciu początkowych wyrazów malejącego ciągu geometrycznego jest 72 razy większa od sumy trzech kolejnych jego wyrazów. Zatem:

 

Suma n-początkowych wyrazów ciągu geometrycznego o wyrazie pierwszym a1 i ilorazie q, wyraża się wzorem:

 

Zatem:

 

Postawiamy:

 

 

 

 

Stąd:

 

(odrzucamy, bo q ≠ 1)

 

(odrzucamy, bo q > 0)

 

 

N-ty wyraz ciągu geometrycznego wyraża się wzorem: . Stąd:

 

Z treści zadania: iloczyn wyrazu drugiego i czwartego jest równy 4. Zatem:

 

Dany ciąg jest malejący, więc jeśli iloraz q = ½, czyli iloraz jest dodatni i mniejszy od 1, to pierwszy wyraz jest dodatni, czyli a₁ > 0, zatem:

 

N-ty wyraz ciągu geometrycznego wyraża się wzorem: 

 

Odp. Wzór ogólny ciągu