Question

Uzasadnij





że jeżeli liczba całkowita n nie dzieli się przez 5 to
n^{4} daje przy dzieleniu przez 5 resztę 1.

Answer 1

Wiemy, że nasze n nie dzieli się przez 5, więc oznaczamy go ze sprzeczności jako: :



Wszędzie otrzymaliśmy resztę równą 1, co należało wykazać.

///Khan.

Answer 2

Sposób na zrobienie to z twierdzenia Eulera.  Zauważamy, że n jest niepodzielny przez 5, zatem  NWD(n,5) = 1  (są to liczby względnie pierwsze). Ponadto z funkcji Eulera:

Równość zapisana przeze mnie wynika z twierdzenia Eulera.
--------------------------------------------------------------------------------------------

Mathematikos również słusznie zauważył, że można się posłużyć małym twierdzeniem Fermata. Ono dokładnie wynika z twierdzenia Eulera:


ponieważ n i 5 są względnie pierwsze, a piątka jest liczbą pierwszą. 

Wniosek: Na podstawie powyższych twierdzeń, dostajemy zawsze reszty 1.