Question

Trapez równoramienny ma podstawy długości 2cm i 6 cm, a jego przekątne są prostopadłe. Olicz pole i obwód tego trapezu.

Answer 1

Oznaczenia (patrz załącznik)

a, b - długość podstaw tarapezu (a > b)

c - długość ramion trapezu

h - długość wysokości trapezu

x + y - długość przekątnej trapezu (x < y)

z - część dłuższej podstawy (a = b + 2z)

P - pole trapezu

O - obwód trapezu

 

a = 6 cm

b = 2 cm

 

ΔCDS - trójkąt prostokątny, zatem

b² = x² + x²

b² = 2x²

2x² = b²

2x² = 2²

2x² = 4 /:2

x² = 2

x = √2 cm

 

ΔABS - trójkąt prostokątny, zatem

a² = y² + y²

a² = 2y²

2y² = a²

2y² = 6²

2y² = 36 /:2

y² = 18

y = √18 = √9·2 = 3√3 cm

 

ΔADS - trójkąt prostokątny, zatem

c² = x² + y²

c² = (√2)² + (3√2)²

c² = 2 + 18

c² = 20

c = √20 = √4·5 = 2√5 cm

 

a = b + 2z

2z = a - b

2z = 6 - 2

2z = 4  /:2

z = 2 cm

 

ΔADE - trójkąt prostokątny, zatem

c² = z² + h²

h² = c² - z²

h² = (2√5)² - 2²

h² = 20 - 4

h² = 16

h = √16 = 4 cm

 

P = ½ · (a + b) · h

P = ½ · (6 + 2) · 4 = ½ · 8 · 4 = 16 cm²

 

O = a + b + 2c

O = 6 + 2 + 2 · 2√5 = 8 + 4√5 = 4 · (2 + √5) cm

 

Odp. Pole trapezu wynosi 16 cm², a jego obwód 4 · (2 + √5) cm.