Question

Rozwiąż:

Owszem, można prościej. Tylko jak?

Wiem, że dzięki rozwiązywaniu równań wielomianowych, wie ktoś jak?

Answer 1

Rozwiązując takie równania korzystamy z twierdzeń:

- tw. o wymiernych pierwiastkach wielomianu o współczynnikach całkowitych:

Jeżeli wielomian o współczynnikach całkowitych, ma pierwiastek wymierny, który można zapisać w postaci ułamka nieskracalnego, to p jest dzielnikiem wyrazu wolnego, zaś q jest dzielnikiem współczynnika przy najwyższej potędze.

- tw. Bezouta
Liczba a jest pierwiastkiem wielomianu wtedy, gdy wielomian jest podzielny przez dwumian x - a.

oraz z def. pierwiastka wielomianu

Pierwiastkiem wielomianu nazywamy miejsce zerowe.Zatem liczba a jest pierwiastkiem wielomianu W(x) wtedy, gdy W(a) = 0.

 

Sprawdzamy, czy równanie ma pierwiastek wymierny (tworzymy, go z dzielnikówwyrazu wolnego i  dzielników współczynnika przy najwyższej potędze):

 

W(½) = 12·(½)³ - 2·(½)² - 1 = 12·⅛ - 2·¼ - 1 = ³/₂ - ½ - 1 = 0

 

zatem liczba ½ jest pierwiastkiem wielomianu, czyli wielomian jest podzielny (t - ½) i możemy go zapisać w postaci iloczynowej oraz sprawdzić, czy wielomian ma inne pierwiastki. Skorzystamy z metody grupowania wyrazów:

 

 

Możemy teraz rozwiązać równanie:

 

 

równanie nie ma rozwiązań

 

Zatem jedynym pierwiastkiem równania jest liczba

 

Odp.