Resolver el ejercicio adjunto de la imagen ... Fisica (1) (Por favor no elimen mis tareas).... Question from @DeyviVillanueva

DeyviVillanueva @DeyviVillanueva

October 2019 1 101 Report

Resolver el ejercicio adjunto de la imagen ... Fisica (1)
(Por favor no elimen mis tareas)

Mainh

¡Buenas!

Tema: Cinemática

$\textbf{Problema :}$

Un alumno de la Universidad Nacional de Jaén patea dos pelotas desde un mismo punto con la misma rapidez, el primero con un ángulo de $74$ grados centígrados y $2$ segundos después patea otra pelota con un ángulo de $60$ grados centígrados, según se indica en la figura. Determine la velocidad del lanzamiento de modo que los dos proyectiles choquen.

RESOLUCIÓN

Según nos indica el problema, la primera pelota de color $\textrm{verde}$ adquiere una velocidad $\overrightarrow{v}$ en $t = 0$ , y en $t = 2$ se patea otra pelota de color $\textrm{naranja}$ , la cual también adquiere una velocidad que es igual en módulo a la velocidad de la pelota $\textrm{verde}$ en $t = 0$ .

Es importante notar que desde $t = 0$ hasta $t = 2$ la pelota $\textrm{naranja}$ se mantiene intacta, es decir, no se moverá, y mientras que en ese mismo instante la pelota $\textrm{verde}$ ya habrá recorrido una parte de su movimiento. Digamos ahora que ambas pelotas chocan en un instante de tiempo $t = t$ . y además, tal como indica la figura, desde el instante $t = 0$ hasta $t = t$ ambas pelotas tendrán el mismo desplazamiento horizontal y vertical.

La pelota $\textrm{verde}$ se movió desde $t = 0\ \to\ t = t$ entonces el tiempo transcurrido será $\Delta t = t - 0 = t$ , por tanto, el desplazamiento horizontal de esta pelota se define por la siguiente ecuación : $(\Delta x) _{1} = \overline{v} \cdot \cos(74) \cdot t$ y el desplazamiento vertical también viene a estar definida por la siguiente ecuación : $(\Delta y) _{1} = \overline{v} \cdot \textrm{sen} (74) + \dfrac{1}{2} \cdot \overline{g} \cdot t^2$

Analizando ahora el movimiento de la pelota $\textrm{naranja}$ tenemos que se movió desde $t = 2\ \to\ t = t$ entonces el tiempo que duro su movimiento viene a ser $\Delta t = t - 2$ , por tanto el desplazamiento horizontal de esta pelota esta dada por la siguiente ecuación : $(\Delta x) _{2} = \overline{v} \cdot \cos(60) \cdot (t-2)$ y el desplazamiento vertical también viene a estar definida por la ecuación : $(\Delta y) _{2} = \overline{v} \cdot \textrm{sen} (60) + \dfrac{1}{2} \cdot \overline{g} \cdot (t-2)^2$

Como ambas pelotas realizaron el mismo desplazamiento horizontal y vertical igualamos las ecuaciones para obtener lo deseado.

$(\Delta x) _{1} = (\Delta x) _{2}$

$\overline{v} \cdot \cos(74) \cdot t = \overline{v} \cdot \cos(60) \cdot (t-2)$

Escribimos las ecuaciones asociando signos para $\textrm{deshacernos}$ de los vectores.

$v \cdot \cos(74) \cdot t = v \cdot \cos(60) \cdot (t-2)$

$\cos(74) \cdot t = \cos(60) \cdot (t-2)$

de esta última igualdad obtenemos

$t = \dfrac{1}{\cos(60) - \cos(74)}$

Note usted que hemos obtenido el instante en el que chocan ambas pelotas, este dato nos será de utilidad más adelante, mientras tanto le comento que el valor aproximado de $t$ es $t \thickapprox 4,45$

Analizando la segunda ecuación :

$(\Delta y) _{1} = (\Delta y) _{2}$

$\overline{v} \cdot \textrm{sen} (74) + \dfrac{1}{2} \cdot \overline{g} \cdot t^2 = \overline{v} \cdot \textrm{sen} (60) + \dfrac{1}{2} \cdot \overline{g} \cdot (t-2)^2$

Escribimos las ecuaciones asociando signos para $\textrm{deshacernos}$ de los vectores.

$v \cdot \textrm{sen} (74) - \dfrac{1}{2} \cdot g \cdot t^2 = v \cdot \textrm{sen} (60) - \dfrac{1}{2} \cdot g \cdot (t-2)^2$

$v \cdot \textrm{sen} (74) - \dfrac{1}{2} \cdot g \cdot t^2 = v \cdot \textrm{sen} (60) - \dfrac{1}{2} \cdot g \cdot (t^2-4t+4)$

$v \cdot \textrm{sen} (74) - \dfrac{1}{2} \cdot g \cdot t^2 = v \cdot \textrm{sen} (60) - \dfrac{1}{2} \cdot g \cdot t^2 + 2gt - 2g$

$v \cdot \textrm{sen} (74) = v \cdot \textrm{sen} (60) + 2gt - 2g$

$v \cdot \textrm{sen} (74) - v \cdot \textrm{sen} (60) = 2gt - 2g$

$v \cdot \boldsymbol{(} \textrm{sen} (74) - \textrm{sen} (60) \boldsymbol{)} = 2g(t-1)$

$v = \dfrac{2g(t-1)}{\textrm{sen} (74) - \textrm{sen} (60)}$

Sustituyendo el valor de $t$ obtenido de la primera ecuación :

$v = \dfrac{2g}{\textrm{sen} (74) - \textrm{sen} (60)} \cdot \left(\dfrac{1}{\cos(60) - \cos(74)} -1 \right)$

$v = \dfrac{2g}{\textrm{sen} (74) - \textrm{sen} (60)} \cdot \left(\dfrac{1 + \cos(74) - \cos(60) }{\cos(60) - \cos(74)} \right)$

$v = \dfrac{g}{\textrm{sen} (74) - \textrm{sen} (60)} \cdot \left(\dfrac{1 + 2 \cos(74)}{\cos(60) - \cos(74)} \right)$

Una vez hallado el módulo de la velocidad podemos dar una aproximación, y con ello la velocidad misma para cualquiera de las pelotas.

$v \thickapprox 72,6 \cdot g$

RESPUESTA

$\boxed{v \thickapprox 72,6 \cdot g}$

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Mainh Al inicio asocio a las pelotas con colores para que se entienda mejor a cual me refiero, desde mi punto de vista resulta mucho más práctico que mencionar "pelota A" o "pelota B"