En serio nadie me va a ayudar ? Por favor.... Question from @DeyviVillanueva

gedo7

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RESPUESTA:

Procedemos a resolver el sistema dado, tenemos:

$\frac{x}{x-a} - \frac{x}{x-b} < \frac{8a^{2} }{x^{2} - a^{2} }$

Procedemos a sacar mínimo en la expresión dada.

$\frac{x(x+a) - 2(x-a)}{x^{2} - a^{2}}<\frac{8a^{2} }{x^{2} - a^{2} }$

Observamos que los denominadores se cancelan, entonces:

x² + ax -2x + 2a < 8a²

x² + x(a-2) + 2a-8a² < 0

Entonces sabemos que a > 0, por tanto tendremos un parábola que siempre abre para arriba y dependiendo el valor a debemos encontrar el intervalo en donde se cumple la función.

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gedo7 Queda hasta ahí porque no nos indican restricciones ni nada, ni siquiera tiene enunciado el ejercicio, por tanto se le realiza solamente un análisis básico de variables y ecuaciones.

gedo7 Tienes el texto donde esta el ejercicio?

Mainh

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¡Buenas!

Tema: Desigualdades

$\textbf{Problema :}$

Halle el conjunto solución de la siguiente desigualdad en parámetros de $a$ , sabiendo que $a > 0$ .

$\dfrac{x}{x-a} - \dfrac{2}{x+a} < \dfrac{8a^{2}}{x^{2} - a^{2}}$

RESOLUCIÓN

Da la casualidad de que tengo el libro donde se encuentra este problema, sin embargo, así como esta formulado, no es posible dar con una respuesta única, mucho menos con la respuesta indicada en libro, y voy a demostrarlo. Posteriormente haré un ligero y al mismo tiempo gran cambio en la pregunta para dar con una solución satisfactoria.

Empecemos desarrollando la parte izquierda de la desigualdad.

$\dfrac{x}{x-a} - \dfrac{2}{x+a} < \dfrac{8a^{2}}{x^{2} - a^{2}}$

$\dfrac{x(x+a)-2(x-a)}{x^{2} - a^{2}} < \dfrac{8a^{2}}{x^{2} - a^{2}}$

$\dfrac{x^{2} + ax - 2x + 2a}{x^{2} - a^{2}} < \dfrac{8a^{2}}{x^{2} - a^{2}}$

A partir de aquí, no debemos sentirnos tentados por eliminar los términos semejantes como si se tratase de una igualdad, recordemos que esta es una desigualdad, en la cual hay que ser un poco más cuidadosos y tener en cuenta que existen propiedades que debemos conocer y tomar en cuenta para no cometer errores. Ahora pasaremos a restar el miembro derecho convenientemente.

$\dfrac{x^{2} + ax - 2x + 2a}{x^{2} - a^{2}} - \dfrac{8a^{2}}{x^{2} - a^{2}} < 0$

$\dfrac{x^{2} + ax -2x + 2a - 8a^{2}}{x^{2}-a^{2}} < 0$

$\dfrac{x^{2} + x(a-2) + 2a - 8a^{2}}{(x+a)(x-a)} < 0$

Apoyémonos en el polinomio de segundo grado $\textrm{P}_{(x)} \equiv (x+a)(x-a)$ asumamos $\textrm{P}_{(x)} < 0$ esto se cumple si $-a < x < a$ .

Debido a que asumimos $\textrm{P}_{(x)} < 0$ , entonces.

$\dfrac{x^{2} + x(a-2) + 2a - 8a^{2}}{\textrm{P}_{(x)}} < 0$

$x^{2} + x(a-2) + 2a - 8a^{2} > 0$

$\boldsymbol{Teorema :}$

$\textrm{Siendo}\ f_{(x)}\ \textrm{una funci\'on polinomial de segundo grado, tal que} \\ f_{(x)}\ \textrm{sea mayor a cero para todo}\ x\ \textrm{real. Se cumple.}$

$\boxed{f_{(x)} = \textrm{m}x^2 + \textrm{n}x+ \textrm{p}\ \wedge\ f_{(x)} > 0\ \Leftrightarrow\ \textrm{m} > 0\ \wedge\ \Delta < 0}$

$\boxed{\Delta = \textrm{n}^{2} - 4 \cdot \textrm{m} \cdot \textrm{p}}$

Entonces.

$x^{2} + x(a-2) + 2a - 8a^{2} > 0\ \Leftrightarrow\ 33a^{2}-12a+4 < 0$

Sin embargo, no existe valor real para $a$ que cumpla tal condición, por ende $x$ no puede encontrarse en el intervalo $-a < x < a$ . Con lo cual queda confirmado que la solución presentada en el libro la cual es $x \in [-2a\ ,\ a \rangle \cup \langle a\ ,\ 3a]$ no es posible, ya que en este conjunto se encuentra incluido el intervalo inadmisible.

Una manera más directa, pero menos formal es reemplazando para $a = 1$ , en consecuencia, el conjunto solución según el libro debería ser $x \in [-2\ ,\ 1 \rangle \cup \langle 1\ ,\ 3]$ , sin embargo usted puede percatarse que el conjunto solución verdadero es $x \in \langle -2\ ,\ -1 \rangle \cup \langle 1\ ,\ 3 \rangle$ .