Problema de Aplicación de Derivadas:
En una planta de arena y grava, la arena cae de una cinta transportadora creando un montículo de forma cónica, a razón de 10 pies cúbicos por minuto. El diámetro de la base del montículo es de aproximadamente tres veces la altura.¿ A que ritmo cambia la altura del montón cuando su altura es de 15 pies.
En una planta de arena y grava, la arena cae de una cinta transportadora creando un montículo de forma cónica, a razón de 10 pies cúbicos por minuto. El diámetro de la base del montículo es de aproximadamente tres veces la altura.¿ A que ritmo cambia la altura del montón cuando su altura es de 15 pies.
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Tenemos que:
dV/dt = 10 ft³/ min
d = 3h
r = d/2 = 3/2h
dh/dt= 15 ft
Volumen cono= 1/3 π r² h
V= 3/4 h³π
Como V(t)= 10t
∛(40t/3π) = h(t)
Tenemos que hallar t para cuando h(t) = 15
15 = ∛(40t/3π)
t= 2025π /8
Derivando:
h´(t) = (40t/3π) ^-2/3 * 40/9π
Evaluando en el punto:
h´(2025π /8) = (40(2025π /8)/3π) ^-2/3 * 40/9π
= (3375) ^-2/3 * 40/9π = 40/9π(∛3375²) = 40/9π(225) =8/(405π) m/seg
R: dh/dt = 8/(405π) m/seg, es decir que la razón de cambio cuando la altura es 15 es de 8/(405π) m/seg.