Question

Fórmula para hallar la suma de los n números naturales:

1^2 + 2^2 + 3^2...+n^2
o
1²+2²+3²+...+n²
Método de obtención de la fórmula y la demostración por inducción.
Gracias.

Answer 1

Buen Día.
La ecuación que nos permite hallar la suma de los primeros n términos de la sucesión An = n² se obtiene de:

Sea un binomio al cubo:
(a+b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³

restemos b³ a ambos lados de la igualdad:
(a+b)³ -b³= a³ + 3a²b + 3ab²

Ahora:
reemplacemos b por los términos de la sucesión Cn = n y a por 1:
(1+0)³ - 0³ = 1³ + 3(1)²(0) + 3(1)(0²)
(1+1)³ - 1³ = 1³ + 3(1)²(1) + 3(1)(1²)
(1+2)³ - 2³ = 1³ + 3(1)²(2) + 3(1)(2²)
                   .
                   .
                   .
(1+n)³ - n³ = 1³ + 3(1)²(n) + 3(1)(n²)     
Sumemos estas (n+1) ecuaciones:
(n+1)³ = (n+1) + 3(0+1+2+3...+n) + 3(0²+1²+2²+...+n²)
Donde se nota que en la parte izquierda se cancelan todos los términos menos dos.
Ahora:
La serie numérica  Bn= 0+1+2+3...+n tiene como resultado:
n(n+1)/2, reemplazando:

(n+1)³ = (n+1) + 3(n(n+1)/2) + 3(0²+1²+2²+...+n²)
2(n+1)³ - 2(n+1) - 3n(n+1) = 6(0²+1²+2²+...+n²)
(n+1) (2n² + 4n +2 -2 - 3n) = 6(0²+1²+2²+...+n²)
(n+1)(2n² + n)/6 = (0²+1²+2²+...+n²)

n(n+1)(2n + 1)/6 = 1²+2²+...+n²

Demostrando por inducción:

Dem:
Queremos probar que ∀ n ∈ Ν : 1²+2²+ 3²+ …+n² = n(n +1)(2n+1)/6
Sea Pn: 1²+2²+ 3²+ …+n² = n(n +1)(2n+1)/6 
debemos probar que P(n) satisface:
1) P(1) : 1² = 1(2)(3)/6 = 1, lo cual es verdadero.

2) Sea n ∈ Ν , debemos probar que P(n) ⇒ ρ(n + 1) es verdadero.
 
Iniciemos suponiendo que P(n) es verdadero, es decir se cumple:
1²+2²+ 3²+ …+n² = n(n +1)(2n+1)/6

Como P(n+1): 1²+2²+3²...+n²+(n+1)² = (n+1)((n+1) +1)(2(n+1)+1)/6 

Sea
1²+2²+ 3²+ …+n² = n(n +1)(2n+1)/6 
entonces sumando (n+1)² a ambos lados de la igualdad:
1²+2²+ 3²+ …+n²+ (n+1)² = n(n +1)(2n+1)/6 + (n+1)²
                                         =n(n +1)(2n+1)/6 + 6(n+1)²/6
                                         =(n +1)(n(2n+1)+6(n+1))/6
                                         =(n +1)(2n²+7n+6)/6
Factorizando:
2n²+7n+6 =( (2n)²+ 7(2n) + 12 )/2
                 =( (2n +3)(2n+4) )/2
                 =(2n + 2 +1)(n+2) 
                 =(2(n +1)+1)(n+2) 
                                         =(n +1)(2(n +1)+1)(n+2) /6
Luego hemos probado que ∀n ∈ Ν : ρ(n) ⇒ ρ(n+1) es verdadera.