Question

Mostrar que, en el caso de dos cuerpos, el centro de masas está ubicado en
algún punto de la línea que los une.

Answer 1

De la imagen:
r₁ = R₁ + R, luego r₁ -R = R₁ 
r₂ = R₂ + R, luego r₂ -R = R₂

Recordemos que el vector relativo r se define como:
r = r₂ - r₁

Y que el vector centro de masa está definido cómo:
       n              n
R =(∑ mi ri ) / ∑ mi
      i= 1          i=1  

Para este caso R = (m₁r₁ + m₂r₂)/(m₁+m₂)

En la imagen también notamos que R₁+R₂ = r



Debemos probar que lo que se ve en la imagen es cierto para cualquier masa y distancia.

Empezaremos por suponer que la información de la imagen es cierta, ahora lo comprobaremos:

Fundamentalmente se tiene que:
R₁+R₂ = r 

Debemos llegar de un lado a otro para demostrarlo:
R₁+R₂ = r₁ -R + r₂ -R
r₂ -R +(r₁ -R) = r₁+r₂ - 2R

Ahora reemplazamos R y operamos:
r₁+r₂ - 2((m₁r₁ + m₂r₂)/(m₁+m₂))
=(r₁(m₁+m₂)+r₂(m₁+m₂) - 2m₁r₁ -2 m₂r₂)/(m₁+m₂)
=(r₁m₁+r₁m₂+r₂m₁+r₂m₂ - 2m₁r₁ -2 m₂r₂)/(m₁+m₂)
=(r₁m₂ - r₁m₁ -r₂m₂ + r₂m1)/(m₁+m₂)

Factorando:

(r₁m₂ - r₁m₁ -r₂m₂ + r₂m1)/(m₁+m₂)
= (r₂(m₁+m₂) - r₁(m₁+m₂))/(m₁+m₂)
= (m₁+m₂)(r₂-r₁)/(m₁+m₂)
= r₂-r₁
= r