El agua se fuga de un tanque cónico invertido a razón de 10.000 cm3=min; al mismo tiempo que se bombea agua hacia el tanque con una razón constante. El tanque tiene 6 m de altura y el diámetro en la parte superior es de 4 m. Si el nivel del agua sube a razón de 20 cm/min cuando la altura de ese nivel es de 2m, encuentre la razon a la que se bombea el agua al tanque.
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Hola Buen Día:
Teniendo en cuenta que el volumen de un sólido cónico es.
1/3π r²h
r= radio
h= altura
Antes de iniciar consideremos:
Toda la función dependerá del tiempo.
Tomemos como t=0 cuando el nivel del agua está a dos metros de altura.
El tiempo se dará en minutos.
Hallemos el radio correspondiente a la altura de 2 m para saber cómo varía éste en tal punto:
Como la altura o nivel del agua en el punto sube a razón de 20 cm/m:
h(t)=0,2 t + 2
Usando la semejanza de triángulos:
6/2 = 0,2 t + 2/r
0,4 t + 4 = 6r
r= (0,4 t + 4)/6
Sea b la razón a la que se bombea el agua al tanque.
Hallemos el volumen y luego la razón a la que cambia el volumen de agua en el cono a la altura de dos metros, es decir utilizaremos t=0 en la derivada de la función, luego sumaremos a esta la razón a la que se fuga el agua del tanque y con esto encontraremos la razón a la que se bombea el agua.
v(t)=π/3 (0,2t + 2)( (0,4 t + 4)/6)²
Derivando respecto al tiempo es decir tomando un valor cercano y luego dividirlo por el tiempo para hallar la variación:
v'(t) = π(t+10)²/1125
v'(0) = π(10)²/1125 ≈ 0,279252 ≈ 279,252 L
10.000 cm³ = 10 L
b - 10L/min = 279,252 L/min
b= 289,252 L/min = 0,29 m³/min