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Multiplicando por 1 como : (1+senx)/(1+senx)
∫dx /(1-senx) = ∫dx /(1-senx) * (1+senx)/(1+senx)
Obtenemos la factorización de una diferencia de cuadrados en el denominador:
∫ (1+senx)/(1-sen²x) dx
Ahora:
La identidad trigonométrica fundamental nos dice que:
1=sen²x+ cos²x
Luego:
1-sen²x= cos²x
∫ (1+senx)/(1-sen²x) dx = ∫ (1+senx)/cos²x dx
= ∫1/cos²x dx + ∫senx/cos²x dx
= ∫sec²x dx + ∫senx/cos²x dx
La integral de sec²x dx es directa:
∫sec²x dx = tan x + c
Para la otra integral:
∫senx/cos²x dx
Realizando una sustitución:
u = cos x
du = -senx dx
∫senx/cos²x dx = -∫du/u² = 1/u + c = 1/(cosx) + c
Luego:
∫dx /(1-senx) = secx + tan x + C