Question

Pole powierzchni bocznej graniastosłupa prawidłowego trójkątnego jest równa sumie obu jego podstaw. Oblicz a) tg b) cos kąta nachylenia przekątnej ściany bocznej do płaszczyzny sąsiedniej

Answer 1

Krawedz podstawy=a
wysokosc bryły=H
przekatna sciany bocznej=d
Pp=a²√3/4
Pb=3ah
wiadomo ze
Pb=Pp+Pp
3aH=a²√3/4+a²√3/4
3aH=2a²√3/4
3aH=a²√3/2     /·2
6aH=a²√3   /:a
6H=a√3
H=a√3/6 --->wysokosc graniastoslupa
z pitagorasa
a²+H²=d²
a²+(a√3/6)²=d²
a²+3a²/36=d²
a²+a²/12=d²
1¹/₁₂a²=d²
13/12 a²=d²
d=a√(13/12)=a√13/2√3=a√39/6---->przekatna sciany bocznej
z pitagorasa
(1/2a)²+H²=x²
1/4a²+(a√3/6)²=x²
1/4a²+a²/12=x²
3/12a²+1/12a²=x²
4/12a²=x²
1/3a²=x²
x=a√(1/3)=a√3/3

wzor na wysokosc podstawy czyli Δ rownobocznego h=a√3/2
zatem 
a)tgα=h/x=(a√3/2)/(a√3/3)=√3/2·3/√3=3/2

b)cosα=x/d=(a√3/3)/(a√39/6)=√3/3·6/√39=2/√13=2√13/13