Question

Podaj wszystkie wartości parametru m, dla których równanie ma dokładnie dwa dodatnie rozwiązania.

Answer 1

rozpiszę Ci to trochę  niekonwencjonalnie :)

 

obrazem modułu z trójmianu kwadratowego  o dodatniej  delcie  jest  "cycek" między ramionami paraboli.

 

żeby więc  były dokładnie dwa i tylko dwa  pierwiastki  nie możemy tego  przesuwać dodając  jakiegokolwiek wyrazu, ponieważ wtedy będziemy mieli 4  miejsca zerowe, 3 ( w jednym  przypadku)   albo przesunąć tak żeby się schował wierchołek

 

 stąd m=2  dla miejsc zerowych  stanowiących zwrot  funkcji

 

sprawdźmy :

 

dla m=2 nasze wyrażenie  zostanie zredukowane do :

 

I x² - 6x + 5 Ι = 0

 

Δ= b^2 - 4 ac =36 - 4·1·5= 36 - 20 = 16      √Δ = 4

 

x1 =( -b-√Δ) / 2a = (6 - 4) /2  = 1    > 0 

x2 =( -b+√Δ) / 2a = (6 + 4) /2  = 5   > 0

 

wyres  w załączniku

 

współrzedne  wierzchołka:

 

p= ( -b) / 2a = 6/2  = 3

q= I -Δ / 4a I =  I  -16 / 4 I = 4

 

jeżeli więc  od naszego wielomianu I x² - 6x + 5 Ι odejmiemy więcej niż 4  to znów będziemy mieli  2 rozwiązania

 

czyli

 

m-2 <- 4

m<-4+2

m<-2

 

sprawdźmy

wtedy nasze wyrażenie I x² - 6x + 5 Ι +m-2= 0   przyjmuje  postać :

 

I x² - 6x + 5 Ι -4>0

 

Δ= b^2 - 4 ac =36 - 4·1·1= 36 - 4 = 32      √Δ = 4√2

 

x1<=( -b-√Δ) / 2a = (6 - 4√2) /2  = 3-2√2       tu trzeba  ograniczyć rozwiązanie :(

x2 >=( -b+√Δ) / 2a = (6 + 4√2) /2  = 3+2√2    > 0

 

wykres w załączniku

 

odległość między pierwiastkami  x2-x1 = √Δ /a

odległość między pierwiastkiem  a osią  symetrii  trójmianu to połowa odległości między pierwiastkami, czyli : √Δ /2a

 

οś symetrii naszej  funkcji to : x=3

 

zatem żeby nasze rozwiązania były  dodatnie  to  (√Δ/2)  <3

√Δ<6   czyli  Δ < 36

 

 

 

b^- 4ac <36

 

36 - 4c <36

-4c < 0   /:4

- c < 0

c>0

gdzie : c=  5 +m-2

 

stąd :

 

5+m-2 >0

m>2-5

m>-3

 

podsumowanie :

 

m= 2  ; dwa rozwiązania dodatnie

m <-2 ; dwa rozwiązania  niekoniecznie dodatnie

m>-3  ; rozwiązania  dodatnie  jeżeli są

 

ostatecznie:

wyrażenie: I x² - 6x + 5 Ι +m-2 = 0 ma dokładnie dwa dodatnie rozwiązania wtedy  gdy  m=2  lub -3 < m <-2