Question

Dane jest równanie . Określ ilość pierwiastków tego równania w zależności od wartości parametru m.

Answer 1

Najprościej jest określić ilość pierwiastków tego równania w zależności od wartości parametru posługując się wykresem.

Aby narysować wykres funkcji prawej strony równania czyli y = |x² - 9| + |x² - 16| zapiszemy jej wzór bez użycia wartości bezwzględnej.

 

Korzystamy z def. wartości bezwzględnej:

 

 

Zatem mam 5 przypadków:

1) x ∈ (- ∞; - 4>

W tym przedziale funkcja y = |x² - 9| + |x² - 16| ma postać:

y = x² - 9 + x² - 16 = 2x² - 25

2) x ∈ (- 4; - 3>

W tym przedziale funkcja y = |x² - 9| + |x² - 16| ma postać:

y = x² - 9 - (x² - 16) = x² - 9 - x² + 16 = 7

3) x ∈ (- 3; 3)

W tym przedziale funkcja y = |x² - 9| + |x² - 16| ma postać:

y = -(x² - 9) - (x² - 16) = - x² + 9 - x² + 16 = - 2x² + 25

4) x ∈ <3; 4)

W tym przedziale funkcja y = |x² - 9| + |x² - 16| ma postać:

y = x² - 9 - (x² - 16) = x² - 9 - x² + 16 = 7

5) x ∈ <4; + ∞)

W tym przedziale funkcja y = |x² - 9| + |x² - 16| ma postać:

y = x² - 9 + x² - 16 = 2x² - 25

Jak widać w przdziałach 1) i 5) oraz 2) i 4) funkcja y = |x² - 9| + |x² - 16| ma tę samą postać, zatem możemy zapisać:

 

Rysujemy tę funkcję: w przedziałach (- ∞; - 4> i <4; + ∞) rysujemy wykres funkcji y = 2x² - 25, w przedziałach (- 4; - 3> i <3; 4) wykres funkcji y = 7, a w przedziale (- 3; 3) wykres funkcji y = - 2x² + 25 - patrz załącznik

 

Z tego wykresu łatwo odczytujemy ilość jego punktów przecięcia z prostą y = m, czyli możemy ustalić ilość pierwiastków równania |x² - 9| + |x² - 16| = m w zależności od wartości parametru m.

Zatem równanie |x² - 9| + |x² - 16| = m:

- dla m < 7 nie ma pierwiastków,

- dla m = 7 ma wiele pierwiastków są to x ∈ <- 4; - 3> u <3; 4>,

- dla m ∈ (7; 25), czyli dla 7 < m < 25 ma dokładnie 4 pierwiastki,

- dla m = 25 ma dokładnie 3 pierwiastki,

- dla m > 25 ma dokładnie 2 pierwiastki.

 

 

 

-----------------------------------------------------------

x² - 9 = 0

(x - 3)(x + 3) = 0

x - 3 = 0 lub x + 3 = 0

x = 3 lub x = - 3

Zaznaczamy miejsca zerowe - 3 i 3 na osi i rysujemy parabolę, która ma ramiona w górę, bo a  = 1 > 0 z wykresu odczytujemy, że:

x² - 9 ≥ 0 dla x ∈ (- ∞; - 3> u <3; + ∞)

x² - 9 < 0 dla x ∈ (- 3; 3)

 

x² - 16 = 0

(x - 4)(x + 4) = 0

x - 4 = 0 lub x + 4 = 0

x = 4 lub x = - 4

Zaznaczamy miejsca zerowe - 4 i 4 na osi i rysujemy parabolę, która ma ramiona w górę, bo a  = 1 > 0 z wykresu odczytujemy, że:

x² - 16 ≥ 0 dla x ∈ (- ∞; - 4> u <4; + ∞)

x² - 16 < 0 dla x ∈ (- 4; 4)