Question

Naszkicuj wykres funkcji i podaj jej zbiór wartości.

Answer 1

określamy dziedzinę funkcji :

 

Df(x): x≠2

 

rozpatrzmy tą funkcję w dwóch  przedziałach  x>2  oraz x<2

 

dla x>2:

  Ix-2I = (x-2)   stąd f(x)= x^2-1

przebieg:

pierwsza pochodna:   d/dx f(x)  = d/dx( x^2) - d/dx (1) = 2x

dla x>2 pierwsza pochodna jest  dodatnia stąd f(x) jest rosnąca.

druga pochodna: d/dx (2x) = 2

druga pochodna jest dodatnia stąd f(x) jest wypukła

lim x→2 (x^2-1)= 3

 

dla x<2

 

Ix-2I = -(x-2)  stąd f(x)= -(x^2-1)= -x^2+1

przebieg:

pierwsza pochodna:   d/dx f(x)  = d/dx(- x^2) + d/dx (1) = -2x

pierwsza pochodna jest dodatnia dla x<0  stąd f(x) jest rosnąca dla x<0

pierwsza pochodna jest ujemna dla x>0 stąd f(x) jest malejąca dla x>0

pierwsza pochodna  jest równa zeru  stąd f(x)  ma w tym punkcie  extremum

f(0) = 1

druga pochodna: d/dx (-2x) = -2   jest ujemna dlatego f(x) jest wklęsła

 

lim x→2 (-x^2+1)= -3

 

tabelka:

 

x      I   -∞ <  0          I   0   I      0   <  2          I         2           I     2< +∞          I

---------------------------------------------------------------------------------------------

f(x)  I -∞ ↑ wklęsła    I    1  I      ↓ wklęsła  -3  I  nie istnieje   I 3 ↑ wypukła +∞ I

 

szkic w załączniku

 

zbiór wartości :

f(x) =< 1

f(x) > 3

 

ps. ciekawa funkcja :)