Question

Dla jakich wartości parametru m funkcja:

przyjmuje tylko dodatnie wartości?

Answer 1

1)

( m -1) x + m  > 0   i  m - 1  < 0  i  m musi być różne od 1

( m - 1) x >  - m    / : ( m - 1)  - liczba ujemne

x < - m /( m - 1) <  1 =>  - m <  m - 1  => - 2 m < - 1  => m > 1/2

m - 1 < 0  =>  m < 1

Sprawdzam dla m = 1/2  i dla m = 1

f(x) = ( -1/2) x + 1/2 > 0 => ( -1/2) x  > - 1/2  => x < 1

f( x) = ( 1 - 1) x + 1 = 1 > 0

m należy do < 1/2 ; 1 >

======================

2)

x^2 + ( m -2) x + 4 - 2m  > 0   jeżeli delta < 0

delta = ( m - 2)^2 - 4*1*( 4 - 2m) = m^2 - 4m + 4 - 16 + 8m = m^2 + 4m - 12

zatem

m^2 + 4m - 12 < 0

delta1 = 4^2 - 4*1*(-12) = 16 + 48 = 64

p( delta1 ) = 8

m1 = [ - 4 - 8]/2 = - 6

m2 = [ - 4 + 8]/ 2 = 2

delta < 0  <=> m  należy do ( - 6; 2)

==================================

< 1/2 ; 1 > n ( - 6; 2) = < 1/2 ; 1 >

Odp. 

m należy do < 1/2 ; 1 >

=====================

 

Answer 2

 

Dla x < 1 funkcja f(x) opisana jest wzorem: f(x) = (m - 1)x + m.

Zatem dla x ∈ (- ∞; 1) funkcja f(x) jest funkcją liniową i aby miała wartości dodatnie, to jej współczynnik kierunkowy musi być niedodatni, bo w przeciwnym wypadku przyjmowałaby ujemne wartości, czyli:

m - 1 ≤ 0

m ≤ 1, czyli dla m ∈ (- ∞; 1>

Ponadto, aby wartości tej funkcji były dodatnie, to dla x = 1 funkcja f(x) też musi mieć nieujemną wartość, zatem:

(m - 1) · 1 + m ≥ 0

m - 1 + m ≥ 0

2m - 1 ≥ 0

2m ≥ 1  /:2

m ≥ ½, czyli dla m ∈ <½; + ∞)

Zatem w przedziale (- ∞; 1) funkcja f(x) będzie miała wartości dodatnie dla:

m ∈ (- ∞; 1> n <½; + ∞) = <½; 1>

 

Dla x ≥ 1 funkcja f(x) opisana jest wzorem: f(x) = x² + (m - 2)·x + 4 - 2m.

Zatem w przedziale <1; + ∞) wykres funkcji jest parabolą, której ramiona są skierowane w górę (a = 1 > 0)

Funkcja kwadratowa dla a > 0 jest rosnąca w przedziale (p; + ∞), gdzie p to pierwsza współrzędna wierzchołka oraz

Sprawdzamy, czy w przedziale <1; + ∞) funkcja f(x) jest rosnąca

Z pierwszej części obliczeń wiemy, że m ∈ <½; 1> czyli możemy sprawdzić, wspólrzędną wierzchołka paraboli:

- dla m = ½ ⇒ i  wtedy funkcja f(x) będzie rosnąca w przedziale (¾; + ∞)

- dla m = 1 ⇒ i  wtedy funkcja f(x) będzie rosnąca w przedziale (½; + ∞), zatem na pewno w przedziale <1; + ∞) funkcja f(x) jest rosnąca, więc aby jej wartości były dodatnie to muszą być dodatnie dla x  = 1, stąd otrzymujemy:

1² + (m - 2)·1 + 4 - 2m > 0

1 + m - 2 + 4 - 2m > 0

- m + 3 > 0

- m > - 3  /·(- 1)

m < 3, czyli dla m ∈ (- ∞; 3)

 

Uwzględniając oba warunki otrzymujemy:

m ∈ <½; 1> n (- ∞; 3) = <½; 1> funkcja f(x) przyjmuje tylko dodatnie wartości

 

Odp. Funkcja f(x) przyjmuje tylko dodatnie wartości dla m ∈ <½; 1>