Para enumerar las páginas de un libro se utilizaron 768 cifras. Si se malogró la cifra 6 y se tuvo que que usar el 9 invertido. Determine cúantas veces se tuvo que utilizar la cifra 9.
a) 110
b) 100
c) 111
d) 222
e) 333
a) 110
b) 100
c) 111
d) 222
e) 333
¡Buenas!
Tema: Conteo
Para enumerar las páginas de un libro se utilizaron 768 cifras. Si se malogró la cifra 6 y se tuvo que que usar el 9 invertido. Determine cuántas veces se tuvo que utilizar la cifra 9.
RESOLUCIÓN
Empecemos señalando una fórmula que nos indica la cantidad de cifras empleadas en una en la sucesión de los primeros
números naturales.
Donde la cantidad de cifras de
y 
es 
De la fórmula.
Asumiendo
Donde se deduce que
el cual tiene 3 cifras y por ende lo asumido inicialmente fue correcto.
Esto quiere decir que el libro tiene 292 páginas y debemos encontrar cuantas veces se usaron la cifra 6 o 9 al momento de enumerar las páginas del libro.
Empecemos contando cuantas cifras desde 1 hasta 99 llevan la cifra 6 o la cifra 9. Analizando los 9 primeros números naturales.
Notemos que existen 2 números que llevan la cifra 6 o la cifra 9, que en este caso son el 6 y 9 mismos.
Ahora consideremos el siguiente numeral
Cuando
entonces el numeral toma la forma 
y solo existen 2 números de dicha forma los cuales llevan la cifra 6 o 9 los cuales son 16 y 19.
Análogamente cuando
existen solo dos números que emplean la cifra 6 o 9 los cuales son 26 y 29.
Generalizando se cumple lo mismo para
Tenga en cuenta que para cada valor de
solo se ha empleado la cifra 6 o la cifra 9 dos veces, y como 
adopta 8 valores, entonces en total hasta ahora se han empleado 
veces la cifra 6 o 9.
Para el caso de
es distinto ya que en todos los casos se ha empleado la cifra 6, veamos 60 ; 61 ; ... ; 66 ; 67 ; 68 ; 69 En total la cifra 6 aparece en la izquierda 10 veces y la cifra 6 o 9 aparece en la derecha solo 2 veces, decimos que en total se ha empleado la cifra 6 o 9 un total de 12 veces.
Para
se sigue el mismo procedimiento existe un total de 12 veces.
Se concluye que desde el 1 hasta el 99 se ha empleado las cifras 6 y 9 un total de
veces.
Ahora note que para contar todas las veces en que se ha empleado la cifra 6 o 9 del 100 al 199, es decir, un numeral de la forma
es exactamente el mismo procedimiento que hicimos ya que el 1 del numeral se mantiene constante sin interferir en el resultado.
De este modo desde el 100 hasta el 199 se ha empleado la cifra 6 o 9 un total de 40 veces.
De forma análoga del 200 al 299 se ha empleado la cifra 6 o 9 un total de 40 veces.
Concluimos finalmente que desde el 1 hasta el 299 se empleado la cifra 6 o 9 un total de
veces, sin embargo, el valor de 
es 
entonces debemos no contabilizar las cifras 6 o 9 de los números 293, 294, 295, 296, 297, 298, 299.
Contando en estos se ha empleado la cifra 6 o 9 un total de 9 veces entonces la cantidad de veces que se ha empleado la cifra 6 o 9 es
.
Se concluye que se ha utilizado la cifra 9 o 6 un total de 111 veces.
RESPUESTA